<TeXmacs|2.1.2>

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    by zhcosin

    2023-07-28
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    3.4<space|2spc>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#4E0E\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#53D8\>\<#6362\>
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    3.5<space|2spc>\<#8D4B\>\<#8303\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>
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    <with|par-left|1tab|3.5.1<space|2spc>\<#6982\>\<#5FF5\>
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    3.6<space|2spc>\<#5185\>\<#79EF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>
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    <with|par-left|1tab|3.6.1<space|2spc>\<#6982\>\<#5FF5\>
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    A<space|2spc>\<#53C2\>\<#8003\>\<#6587\>\<#732E\>>
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  <chapter|\<#5F15\>\<#8A00\>>

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  <subsection|\<#7B1B\>\<#5361\>\<#5C14\>\<#79EF\>>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|A> \<#4E0E\> <math|B>
    \<#662F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#975E\>\<#7A7A\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B9A\>\<#4E49\>
    <math|A> \<#4E0E\> <math|B> \<#7684\><underline|\<#7B1B\>\<#5361\>\<#5C14\>\<#79EF\>>
    <math|A\<times\>B> \<#5982\>\<#4E0B\>

    <\equation*>
      A\<times\>B=<around*|{|\<langle\>x,y\<rangle\><around*|\||x\<in\>A,y\<in\>B|\<nobracket\>>|}>
    </equation*>

    \<#5373\> <math|A\<times\>B> \<#7531\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5206\>\<#522B\>\<#53D6\>\<#81EA\>
    <math|A> \<#4E0E\> <math|B> \<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#7EC4\>\<#6210\>\<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#5BF9\>\<#7EC4\>\<#6210\>.
  </definition>

  <subsection|\<#5173\>\<#7CFB\>>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|A> \<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#975E\>\<#7A7A\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#79F0\>
    <math|A\<times\>A> \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#96C6\> <math|S>
    \<#4E3A\> <math|A> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\><underline|\<#5173\>\<#7CFB\>>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|x,y\<in\>A>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#5BF9\>
    <math|\<langle\>x,y\<rangle\>\<in\>S>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\> <math|x>
    \<#4E0E\> <math|y> \<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#5173\>\<#7CFB\>
    <math|S>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\> <math|x S
    y>\<#FF0C\>\<#5426\>\<#5219\>\<#79F0\> <math|x> \<#4E0E\> <math|y>
    \<#4E0D\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#5173\>\<#7CFB\> <math|S>.
  </definition>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|S> \<#662F\> <math|A>
    \<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5BF9\>\<#96C6\>\<#5408\>
    <math|A> \<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\>
    <math|x> \<#548C\> <math|y>\<#FF0C\>\<#8981\>\<#4E48\>
    <math|\<langle\>x,y\<rangle\>\<in\>S>\<#FF0C\>\<#8981\>\<#4E48\>
    <math|\<langle\>y,x\<rangle\>\<in\>S><math|>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>
    <math|S> \<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\><underline|\<#5168\>\<#5E8F\>\<#5173\>\<#7CFB\>>\<#FF0C\>\<#5426\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#5176\>\<#4E3A\><underline|\<#504F\>\<#5E8F\>\<#5173\>\<#7CFB\>>.
  </definition>

  \<#5B9E\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5168\>\<#5E8F\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#6570\>
  <math|a> \<#548C\> <math|b>\<#FF0C\>\<#8981\>\<#4E48\>
  <math|a\<less\>b>\<#FF0C\>\<#8981\>\<#4E48\> <math|b\<less\>a>.
  \<#4F46\>\<#662F\>\<#590D\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#4E0A\>\<#5C31\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#6BD4\>\<#8F83\>\<#5927\>\<#5C0F\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5C0F\>\<#4E8E\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#590D\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#6765\>\<#8BF4\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#504F\>\<#5E8F\>\<#5173\>\<#7CFB\>.

  <\definition>
    \<#96C6\>\<#5408\> <math|A> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5173\>\<#7CFB\>
    <math|S> \<#5982\>\<#679C\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\><underline|\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#5173\>\<#7CFB\>>:

    <\enumerate-numeric>
      <item>(\<#81EA\>\<#53CD\>\<#6027\>)\<forall\>x\<in\>A\<#FF0C\>\<#6210\>\<#7ACB\>
      xSx.

      <item>(\<#5BF9\>\<#79F0\>\<#6027\>)\<#82E5\> <math|x S
      y>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\> <math|y S x>.

      <item>(\<#4F20\>\<#9012\>\<#6027\>)\<#82E5\> <math|x S y> \<#4E14\>
      <math|y S z>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\> <math|x S z>.
    </enumerate-numeric>
  </definition>

  \<#590D\>\<#6570\>\<#7684\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#FF0C\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#5F62\>\<#7684\>\<#5168\>\<#7B49\>\<#53CA\>\<#76F8\>\<#4F3C\>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#5173\>\<#7CFB\>.

  <section|\<#6570\>\<#57DF\>>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|F> \<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#96C6\>(\<#5B9E\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#4E0E\>\<#590D\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#5747\>\<#53EF\>)\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|F> \<#4E2D\>\<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#3001\>\<#51CF\>\<#6CD5\>\<#3001\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#3001\>\<#9664\>\<#6CD5\>\<#56DB\>\<#79CD\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#4FDD\>\<#6301\>\<#5C01\>\<#95ED\>\<#6027\>(\<#5373\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#5728\>
    <math|F> \<#4E2D\>)\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\> <math|F>
    \<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#57DF\>.
  </definition>

  \<#5BB9\>\<#6613\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#FF0C\>\<#4EFB\>\<#4F55\>\<#6570\>\<#57DF\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#5305\>\<#542B\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#6709\>\<#7406\>\<#6570\>\<#96C6\>
  <math|Q> \<#662F\>\<#6700\>\<#5C0F\>\<#7684\>\<#6570\>\<#57DF\>.

  \<#5B9E\>\<#6570\>\<#96C6\> <math|R> \<#548C\>\<#590D\>\<#6570\>\<#96C6\>
  <math|C> \<#90FD\>\<#6784\>\<#6210\>\<#6570\>\<#57DF\>.

  <\example>
    \<#6240\>\<#6709\>\<#5F62\>\<#5982\> <math|a+b<sqrt|2><around*|(|a,b\<in\>Q|)>>
    \<#7684\>\<#6570\>\<#7EC4\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#57DF\>.
  </example>

  \<#4ECA\>\<#540E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#4E00\>\<#5F8B\>\<#7528\> <math|F>
  \<#8868\>\<#793A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#57DF\>\<#FF0C\>\<#9664\>\<#975E\>\<#6709\>\<#660E\>\<#786E\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#4E0D\>\<#662F\>.

  <section|\<#6620\>\<#5C04\>>

  \<#719F\>\<#6089\>\<#7684\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#5982\>\<#4E0B\>

  <\definition>
    \<#8BBE\> A \<#4E0E\> <math|B> \<#662F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#975E\>\<#7A7A\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|A> \<#5230\> <math|B> \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\><underline|\<#6620\>\<#5C04\>>
    <math|f> \<#662F\>\<#6307\>\<#4ECE\> <math|A> \<#5230\> <math|B>
    \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#7684\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|A> \<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5143\>\<#7D20\>
    <math|x>\<#FF0C\>\<#5728\> <math|B> \<#4E2D\>\<#6709\>\<#4E14\>\<#4EC5\>\<#6709\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\>
    <math|y> \<#4E0E\>\<#4E4B\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|y=f<around*|(|x|)>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\> <math|y\<in\>B>
    \<#79F0\>\<#4E3A\> <math|x\<in\>A> \<#5728\>\<#8FD9\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#4E0B\>\<#7684\><underline|\<#50CF\>>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <math|x> \<#79F0\>\<#4E3A\> <math|y> \<#5728\>\<#8FD9\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#4E0B\>\<#7684\><underline|\<#539F\>\<#50CF\>>.
  </definition>

  \<#6620\>\<#5C04\>\<#5F3A\>\<#8C03\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#975E\>\<#662F\>\<#4E24\>\<#70B9\>

  <\enumerate-numeric>
    <item>\<#4E0D\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#5BF9\>\<#591A\>\<#7684\>\<#73B0\>\<#8C61\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#5141\>\<#8BB8\>\<#591A\>\<#5BF9\>\<#4E00\>(\<#5982\>\<#679C\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#591A\>\<#5BF9\>\<#4E00\>\<#73B0\>\<#8C61\>\<#5C31\>\<#53EB\>\<#505A\>\<#5355\>\<#5C04\>).

    <item><math|A> \<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#5728\>
    <math|B> \<#4E2D\>\<#6709\>\<#50CF\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#8981\>\<#6C42\>
    <math|B> \<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#90FD\>\<#6709\>\<#539F\>\<#50CF\>(\<#90A3\>\<#53EB\>\<#505A\>\<#6EE1\>\<#5C04\>).
  </enumerate-numeric>

  \<#5229\>\<#7528\>\<#7B1B\>\<#5361\>\<#5C14\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6539\>\<#8FF0\>\<#5982\>\<#4E0B\>

  <\definition>
    \<#8BBE\> A \<#4E0E\> <math|B> \<#662F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#975E\>\<#7A7A\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|A> \<#5230\> <math|B> \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#662F\>
    <math|A\<times\>B> \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#96C6\>
    <math|C>\<#FF0C\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#6761\>\<#4EF6\>:
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\> <math|x\<in\>A>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>
    y\<in\>B, \<#4F7F\>\<#5F97\> <math|\<langle\>x,y\<rangle\>\<in\>C>.
  </definition>

  \<#800C\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#8FC7\>\<#662F\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#5230\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#7684\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#800C\>\<#5DF2\>

  <\definition>
    \<#7531\>\<#975E\>\<#7A7A\>\<#6570\>\<#96C6\> <math|A>
    \<#5230\>\<#975E\>\<#7A7A\>\<#6570\>\<#96C6\> <math|B>
    \<#7684\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#79F0\>\<#4E3A\><underline|\<#51FD\>\<#6570\>>.
  </definition>

  \<#4E0B\>\<#9762\>\<#662F\>\<#5355\>\<#5C04\>\<#53CA\>\<#6EE1\>\<#5C04\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|f> \<#662F\>\<#7531\>\<#96C6\>\<#5408\> <math|A>
    \<#5230\>\<#96C6\>\<#5408\> <math|B> \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|A> \<#4E2D\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#5728\>
    <math|B> \<#4E2D\>\<#7684\>\<#50CF\>\<#4E5F\>\<#4E0D\>\<#540C\>,\<#5C31\>\<#79F0\>\<#8FD9\>\<#6620\>\<#5C04\>
    <math|f> \<#662F\><underline|\<#5355\>\<#5C04\>>.
  </definition>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|f> \<#662F\>\<#7531\>\<#96C6\>\<#5408\> <math|A>
    \<#5230\>\<#96C6\>\<#5408\> <math|B> \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|B> \<#4E2D\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#5728\> <math|A>
    \<#4E2D\>\<#90FD\>\<#6709\>\<#539F\>\<#50CF\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#6620\>\<#5C04\>
    <math|f> \<#662F\><underline|\<#6EE1\>\<#5C04\>>.
  </definition>

  <\definition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#65E2\>\<#662F\>\<#5355\>\<#5C04\>\<#53C8\>\<#662F\>\<#6EE1\>\<#5C04\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#4E3A\><underline|\<#4E00\>\<#4E00\>\<#6620\>\<#5C04\>>\<#6216\>\<#8005\><underline|\<#53CC\>\<#5C04\>>.
  </definition>

  <subsection|\<#8FD0\>\<#7B97\>>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|A> \<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#975E\>\<#7A7A\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#79F0\>\<#6620\>\<#5C04\>
    <math|f:A\<times\>A\<rightarrow\>A> \<#4E3A\>\<#96C6\>\<#5408\> <math|A>
    \<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\><underline|\<#4E8C\>\<#5143\>\<#8FD0\>\<#7B97\>>.
  </definition>

  \<#4E8C\>\<#5143\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#901A\>\<#5E38\>\<#5199\>\<#4F5C\>
  <math|c=f<around*|(|a,b|)>>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\> <math|a,b,c\<in\>A>.

  \<#7531\>\<#4E8E\> <math|f<around*|(|a,b|)>\<in\>A>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#6240\>\<#5F97\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#8FD8\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#518D\>\<#4E0E\>
  <math|A> \<#4E2D\>\<#5176\>\<#5B83\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#8FD0\>\<#7B97\>.

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|f<around*|(|a,b|)>> \<#662F\>\<#96C6\>\<#5408\> <math|A>
    \<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E8C\>\<#5143\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|f<around*|(|a,b|)>=f<around*|(|b,a|)>>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#7684\> <math|a,b\<in\>A>
    \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#5176\>\<#6EE1\>\<#8DB3\><underline|\<#4EA4\>\<#6362\>\<#5F8B\>>.\<#5982\>\<#679C\>
    <math|f<around*|(|f<around*|(|a,b|)>,c|)>=f<around*|(|a,f<around*|(|b,c|)>|)>>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#7684\> <math|a,b,c\<in\>A>
    \<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#8FD9\>\<#5176\>\<#6EE1\>\<#8DB3\><underline|\<#7ED3\>\<#5408\>\<#5F8B\>>.
  </definition>

  \;

  <section|\<#4E09\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#4E0E\>\<#56DB\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#89E3\>\<#6CD5\>>

  \<#672C\>\<#8282\>\<#4ECB\>\<#7ECD\>\<#4E00\>\<#5143\>\<#4E09\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#548C\>\<#4E00\>\<#5143\>\<#56DB\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#89E3\>\<#6CD5\>.

  <subsection|\<#4E09\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#89E3\>\<#6CD5\>>

  \<#8003\>\<#8651\>\<#590D\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#4E09\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>

  <\equation*>
    a x<rsup|3>+b x<rsup|2>+c x+d=0
  </equation*>

  \<#5176\>\<#4E2D\>\<#4E09\>\<#6B21\>\<#9879\>\<#7CFB\>\<#6570\>
  <math|a\<neq\>0>\<#FF0C\>\<#5426\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#5C31\>\<#9000\>\<#5316\>\<#4E3A\>\<#6B21\>\<#6570\>\<#66F4\>\<#4F4E\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#9996\>\<#5148\>\<#5C06\>\<#4E09\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#89C4\>\<#8303\>\<#5316\>\<#4E3A\>1\<#FF0C\>\<#628A\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#91CD\>\<#65B0\>\<#5199\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
    x<rsup|3>+a x<rsup|2>+b x+c=0
  </equation*>

  \<#7136\>\<#540E\>\<#5229\>\<#7528\>\<#4E0E\>\<#4E8C\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#914D\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\>

  <\equation*>
    <around*|(|x+t|)><rsup|3>=x<rsup|3>+3t x<rsup|2>+3t<rsup|2>x+t<rsup|3>
  </equation*>

  \<#4E2D\>\<#4E09\>\<#6B21\>\<#9879\>\<#548C\>\<#4E8C\>\<#6B21\>\<#9879\>\<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#6BD4\>\<#FF0C\>\<#4F5C\>\<#53D8\>\<#6362\>
  <math|x\<rightarrow\>x+<frac|a|3>>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5904\>\<#7406\>\<#6389\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#4E8C\>\<#6B21\>\<#9879\>\<#FF0C\>\<#6210\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
    x<rsup|3>+p x+q=0
  </equation*>

  \<#7684\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#63A5\>\<#4E0B\>\<#6765\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C31\>\<#6765\>\<#8003\>\<#8651\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#89E3\>\<#6CD5\>.

  \<#4F5C\>\<#4EE3\>\<#6362\> <math|x=u+v>\<#FF0C\>\<#4EE3\>\<#5165\>\<#65B9\>\<#7A0B\>

  <\equation*>
    <around*|(|u+v|)><rsup|3>+p<around*|(|u+v|)>+q=0
  </equation*>

  \<#5C55\>\<#5F00\>\<#4E09\>\<#6B21\>\<#9879\>\<#FF0C\>\<#6574\>\<#7406\>\<#5F97\>

  <\equation*>
    <around*|(|u<rsup|3>+v<rsup|3>|)>+<around*|(|3u
    v+p|)><around*|(|u+v|)>+q=0
  </equation*>

  \<#7531\>\<#4E8E\>\<#5F15\>\<#5165\>\<#4E86\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#81EA\>\<#7531\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5BF9\>
  <math|u,v> \<#52A0\>\<#4E0A\>\<#4E00\>\<#4E9B\>\<#9650\>\<#5236\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5C31\>\<#9650\>\<#5236\>
  <math|3u v+p=0>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5C31\>\<#5F97\>
  <math|u<rsup|3>+v<rsup|3>=-q>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>

  <\equation*>
    <around*|{|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|u<rsup|3>+v<rsup|3>=-q>>|<row|<cell|u<rsup|3>v<rsup|3>=-<frac|p<rsup|3>|27>>>>>>|\<nobracket\>>
  </equation*>

  \<#4ECE\>\<#800C\> <math|u<rsup|3>,v<rsup|3>>
  \<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#4E8C\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>

  <\equation*>
    t<rsup|2>+q t-<frac|p<rsup|3>|27>=0
  </equation*>

  \<#6309\>\<#4E8C\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#6C42\>\<#6839\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5F97\>

  <\equation*>
    u<rsup|3>,v<rsup|3>=-<frac|q|2>\<pm\><frac|1|2><sqrt|q<rsup|2>+<frac|4p<rsup|3>|27>>
  </equation*>

  \<#4E8E\>\<#662F\>\<#4E09\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#89E3\>
  <math|x=u+v> \<#5219\>\<#662F\>

  <\equation*>
    x=<sqrt|-<frac|q|2>+<frac|1|2><sqrt|q<rsup|2>+<frac|4p<rsup|3>|27>>|3>+<sqrt|-<frac|q|2>-<frac|1|2><sqrt|q<rsup|2>+<frac|4p<rsup|3>|27>>|3>
  </equation*>

  \<#4E3A\>\<#4E86\>\<#4F7F\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#770B\>\<#8D77\>\<#6765\>\<#66F4\>\<#7B80\>\<#5355\>\<#4E9B\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#628A\>\<#65B9\>\<#7A0B\>
  <math|x<rsup|3>+p x+q=0> \<#6539\>\<#5199\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
    x<rsup|3>+3p x+2q=0
  </equation*>

  \<#6B64\>\<#65F6\> <math|u<rsup|3>+v<rsup|3>=-2q,u
  v=-p>\<#FF0C\><math|u<rsup|3>> \<#4E0E\> <math|v<rsup|3>>
  \<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#662F\> <math|t<rsup|2>+2q
  t-p<rsup|3>=0> \<#5F97\>

  <\equation*>
    u<rsup|3>=-q+<sqrt|q<rsup|2>+p<rsup|3>>,v<rsup|3>=-q-<sqrt|q<rsup|2>+p<rsup|3>>
  </equation*>

  \<#6C42\>\<#6839\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#5219\>\<#6210\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
    x=<sqrt|-q+<sqrt|q<rsup|2>+p<rsup|3>>|3>+<sqrt|-q-<sqrt|q<rsup|2>+p<rsup|3>>|3>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#91CC\>\<#9700\>\<#8981\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#4E00\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#5728\>\<#590D\>\<#6570\>\<#8303\>\<#56F4\>\<#5185\>\<#FF0C\>\<#5F00\>\<#5E73\>\<#65B9\>\<#4F1A\>\<#4EA7\>\<#751F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5F00\>\<#7ACB\>\<#65B9\>\<#5219\>\<#4F1A\>\<#4EA7\>\<#751F\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#503C\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#7167\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#5C06\>\<#4F1A\>\<#6709\>12\<#4E2A\>\<#89E3\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#4E8B\>\<#5B9E\>\<#5E76\>\<#975E\>\<#5982\>\<#6B64\>.

  \<#9996\>\<#5148\>\<#5BF9\>\<#4E8E\> <math|u<rsup|3>> \<#548C\>
  <math|v<rsup|3>> \<#4E2D\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#4E8C\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#6839\>,\<#8BBE\>
  <math|q<rsup|2>+p<rsup|3>> \<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#4E8C\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#6839\>\<#662F\>
  <math|r<rsub|0>i> \<#53CA\> <math|-r<rsub|0>i>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>
  <math|u<rsup|3>> \<#548C\> <math|v<rsup|3>> \<#53EA\>\<#80FD\>\<#662F\>
  <math|q+r<rsub|0>i> \<#53CA\> <math|q-r<rsub|0>i>
  \<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#503C\>\<#7684\>\<#8F6E\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#51FA\>\<#73B0\>\<#5404\>\<#6709\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#503C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#51FA\>\<#73B0\>\<#56DB\>\<#4E2A\>\<#503C\>\<#7684\>\<#7EC4\>\<#5408\>.

  \<#7136\>\<#540E\>\<#8BBE\> <math|u<rsup|3>=-q+<sqrt|q<rsup|2>+p<rsup|3>>>
  \<#7684\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#7ACB\>\<#65B9\>\<#6839\>\<#662F\>
  <math|u<rsub|0>,u<rsub|0>\<omega\>,u<rsub|0>\<omega\><rsup|2>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
  <math|\<omega\>=-<frac|1|2>+<frac|<sqrt|3>|2>i>
  \<#4E3A\>\<#4E09\>\<#6B21\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#6839\>,
  <math|v<rsup|3>=-q-<sqrt|q<rsup|2>+p<rsup|3>>>
  \<#7684\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#7ACB\>\<#65B9\>\<#6839\>\<#662F\>
  <math|v<rsub|0>,v<rsub|0>\<omega\>,v<rsub|0>\<omega\><rsup|2>>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#901A\>\<#8FC7\>\<#6070\>\<#5F53\>\<#7684\>\<#9009\>\<#53D6\>
  <math|u<rsub|0>> \<#548C\> <math|v<rsub|0>> \<#4F7F\>\<#5F97\>
  <math|u<rsub|0>v<rsub|0>=-p>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5728\> <math|u v=-p>
  \<#7684\>\<#7EA6\>\<#675F\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6C42\>\<#6839\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#7684\>\<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#53EA\>\<#6709\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#89E3\>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|x<rsub|1>>|<cell|=>|<cell|u<rsub|0>+v<rsub|0>>>|<row|<cell|x<rsub|2>>|<cell|=>|<cell|u<rsub|0>\<omega\>+v<rsub|0>\<omega\><rsup|2>>>|<row|<cell|x<rsub|3>>|<cell|=>|<cell|u<rsub|0>\<omega\><rsup|2>+v<rsub|0>\<omega\>>>>>
  </eqnarray*>

  \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#4ECE\>\<#7406\>\<#8BBA\>\<#4E0A\>\<#89E3\>\<#51B3\>\<#4E86\>\<#4E09\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#6C42\>\<#89E3\>\<#95EE\>\<#9898\>.

  <subsection|\<#4E09\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#4E09\>\<#89D2\>\<#89E3\>\<#6CD5\>>

  \<#4ECE\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#7684\>\<#4E8C\>\<#500D\>\<#89D2\>\<#516C\>\<#5F0F\>

  <\equation*>
    cos2\<theta\>=2cos<rsup|2>\<theta\>-1
  </equation*>

  \<#51FA\>\<#53D1\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5BFC\>\<#51FA\>\<#4F59\>\<#5F26\>\<#7684\>\<#4E09\>\<#500D\>\<#89D2\>\<#516C\>\<#5F0F\>

  <\equation*>
    cos3\<theta\>=4cos<rsup|3>\<theta\>-3cos\<theta\>
  </equation*>

  \<#6CE8\>\<#610F\>\<#5230\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#51FA\>\<#73B0\>\<#4E86\>
  <math|cos\<theta\>> \<#7684\>\<#4E09\>\<#6B21\>\<#9879\>\<#53CA\>\<#4E00\>\<#6B21\>\<#9879\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#5BF9\>\<#6BD4\>\<#590D\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#4E09\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>

  <\equation*>
    x<rsup|3>+p x+q=0
  </equation*>

  \ \<#53D7\>\<#5230\>\<#542F\>\<#53D1\>\<#FF0C\>\<#4F5C\>\<#4EE3\>\<#6362\>
  <math|x=r cos\<theta\>>\<#FF0C\>\<#5F97\>

  <\equation*>
    r<rsup|3>cos<rsup|3>\<theta\>+p r cos\<theta\>+q=0
  </equation*>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#8BA9\> <math|cos<rsup|3>\<theta\>> \<#4E0E\>
  <math|cos\<theta\>> \<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#4E4B\>\<#6BD4\>\<#4E3A\>
  <math|4:-3>\<#FF0C\>\<#5F97\>

  <\equation*>
    <frac|r<rsup|3>|p r>=<frac|4|-3>
  </equation*>

  \<#5F97\> <math|r<rsup|2>=-<frac|4|3>p>, , \<#4E8E\>\<#662F\>

  <\equation*>
    -4p r cos<rsup|3>\<theta\>+3p r cos\<theta\>+3q=0
  </equation*>

  \<#5373\>

  <\equation*>
    -p r cos3\<theta\>+3q=0
  </equation*>

  \<#4ECE\>\<#800C\>\ 

  <\equation*>
    cos3\<theta\>=<frac|3q|p r>=<frac|3q|p<sqrt|-<frac|4|3>p>>=<frac|3q|2p><sqrt|-<frac|3|p>>
  </equation*>

  \<#800C\>\<#4E09\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#89E3\>\<#4E3A\>
  <math|x=r cos\<theta\>>\<#FF0C\>\<#5373\>

  <\equation*>
    x=<sqrt|-<frac|4|3>p>cos<around*|(|<frac|1|3>arccos<frac|3q|2p><sqrt|-<frac|3|p>>|)>
  </equation*>

  \;

  <\equation*>
    \;
  </equation*>

  <subsection|\<#56DB\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#89E3\>\<#6CD5\>>

  <section|\<#77E9\>\<#9635\>\<#4E0E\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>>

  <subsection|\<#77E9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#57FA\>\<#672C\>\<#6982\>\<#5FF5\>>

  <\definition>
    \<#5C06\> <math|m> \<#884C\> <math|n>
    \<#5217\>\<#7684\>\<#6570\>\<#9635\>

    <\equation*>
      <around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>>|<cell|a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|m,1>>|<cell|a<rsub|m,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|m,n>>>>>>|)>
    </equation*>

    \<#79F0\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\> <math|m> \<#884C\> <math|n>
    \<#5217\>\<#7684\><underline|\<#77E9\>\<#9635\>>\<#FF0C\>\<#6216\>\<#7B80\>\<#8BB0\>\<#4E3A\>
    <math|m\<times\>n> \<#77E9\>\<#9635\>\<#FF0C\>\<#7528\>\<#7C97\>\<#4F53\>\<#5927\>\<#5199\>\<#5B57\>\<#6BCD\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|\<b-A\>=<around*|(|a<rsub|i,j>|)><rsub|m\<times\>n>>.
    \<#6570\>\<#9635\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6570\>
    <math|a<rsub|i,j>> \<#79F0\>\<#4E3A\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#7684\><underline|\<#5143\>\<#7D20\>>,
    <math|m> \<#79F0\>\<#4E3A\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#884C\>\<#6570\>\<#FF0C\><math|n>
    \<#79F0\>\<#4E3A\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#5217\>\<#6570\>.
  </definition>

  <\definition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#77E9\>\<#9635\> <math|\<b-A\>>
    \<#548C\> <math|\<b-B\>> \<#884C\>\<#6570\>\<#548C\>\<#5217\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#4F4D\>\<#7F6E\>\<#5904\>\<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#90FD\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#77E9\>\<#9635\><underline|\<#76F8\>\<#7B49\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|\<b-A\>=\<b-B\>>.
  </definition>

  <\definition>
    \<#6240\>\<#6709\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#90FD\>\<#662F\> <math|0>
    \<#7684\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#79F0\>\<#4E3A\><underline|\<#96F6\>\<#77E9\>\<#9635\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|\<b-O\>>.
  </definition>

  \<#6CE8\>\<#610F\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#884C\>\<#6570\>\<#6216\>\<#8005\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#5217\>\<#6570\>\<#7684\>\<#96F6\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#7684\>\<#77E9\>\<#9635\>.

  <\definition>
    \<#8BBE\>\<#6709\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#884C\>\<#6570\>\<#548C\>\<#5217\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#77E9\>\<#9635\>

    <\equation*>
      \<b-A\>=<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>>|<cell|a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|m,1>>|<cell|a<rsub|m,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|m,n>>>>>>|)>,\<b-B\>=<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|b<rsub|1,1>>|<cell|b<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|b<rsub|1,n>>>|<row|<cell|b<rsub|2,1>>|<cell|b<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|b<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|b<rsub|m,1>>|<cell|b<rsub|m,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|b<rsub|m,n>>>>>>|)>
    </equation*>

    \<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#8FD0\>\<#7B97\>

    <\equation*>
      \<b-A\>+\<b-B\>=<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>+b<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>+b<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>+b<rsub|1,n>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>+b<rsub|2,1>>|<cell|a<rsub|2,2>+b<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|2,n>+b<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|m,1>+b<rsub|m,1>>|<cell|a<rsub|m,2>+b<rsub|m,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|m,n>+b<rsub|m,n>>>>>>|)>
    </equation*>

    \<#4EE5\>\<#53CA\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>

    <\equation*>
      k\<b-A\>=<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|k
      a<rsub|1,1>>|<cell|k a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|k
      a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|k a<rsub|2,1>>|<cell|k
      a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|k
      a<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|k
      a<rsub|m,1>>|<cell|k a<rsub|m,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|k
      a<rsub|m,n>>>>>>|)>
    </equation*>
  </definition>

  \<#5728\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>
  <math|\<b-A\>+<around*|(|-1|)>\<b-A\>=\<b-O\>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
  <math|\<b-O\>> \<#662F\>\<#6307\>\<#5177\>\<#6709\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#884C\>\<#6570\>\<#548C\>\<#5217\>\<#6570\>\<#7684\>\<#96F6\>\<#77E9\>\<#9635\>.

  <\definition>
    \<#5C06\>\<#77E9\>\<#9635\>\ 

    <\equation*>
      \<b-A\>=<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>>|<cell|a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|m,1>>|<cell|a<rsub|m,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|m,n>>>>>>|)>
    </equation*>

    \<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#7684\>\<#884C\>\<#5217\>\<#4F4D\>\<#7F6E\>\<#4E92\>\<#6362\>\<#540E\>\<#6240\>\<#5F97\>\<#65B0\>\<#77E9\>\<#9635\>

    <\equation*>
      <around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|2,1>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|m,1>>>|<row|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|m,2>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|1,n>>|<cell|a<rsub|2,n>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|m,n>>>>>>|)>
    </equation*>

    \<#79F0\>\<#4E3A\>\<#539F\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#8F6C\>\<#7F6E\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|\<b-A\><rsup|T>>.
  </definition>

  \<#663E\>\<#7136\>\<#6709\> <math|<around*|(|\<b-A\><rsup|T>|)><rsup|T>=A>.

  <subsection|\<#77E9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#884C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E0E\>\<#5217\>\<#5411\>\<#91CF\>>

  <\definition>
    \<#79F0\> <math|n> \<#4E2A\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#7684\>\<#6709\>\<#5E8F\>\<#6570\>\<#7EC4\>
    <math|<around*|(|a<rsub|1>,a<rsub|2,>\<ldots\>,a<rsub|n>|)>>
    \<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\> <math|n> \<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>,\<#628A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#5199\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#884C\>

    <\equation*>
      \<b-a\>=<around*|(|a<rsub|1>,a<rsub|2,>\<ldots\>,a<rsub|n>|)>
    </equation*>

    \<#5C31\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#884C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#5199\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#5217\>

    <\equation*>
      \<b-b\>=<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1>>>|<row|<cell|a<rsub|2>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n>>>>>>|)>
    </equation*>

    \<#5C31\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#5217\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#884C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E0E\>\<#5217\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#53EA\>\<#662F\>\<#5199\>\<#6CD5\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#FF0C\>\<#672C\>\<#8D28\>\<#4E0A\>\<#662F\>\<#540C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>.
  </definition>

  \<#884C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#6210\>\<#662F\>\<#53EA\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#884C\>\<#7684\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#FF0C\>\<#5217\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#6210\>\<#53EA\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#5217\>\<#7684\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#7684\>\<#770B\>\<#6CD5\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#884C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#548C\>\<#5217\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#4E92\>\<#4E3A\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#8F6C\>\<#7F6E\>\<#FF0C\>\<#5373\>

  <\equation*>
    <around*|(|a<rsub|1>,a<rsub|2,>\<ldots\>,a<rsub|n>|)><rsup|T>=<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1>>>|<row|<cell|a<rsub|2>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n>>>>>>|)>
  </equation*>

  .

  \<#77E9\>\<#9635\> <math|\<b-A\>=<around*|(|a<rsub|i,j>|)><rsub|m\<times\>n>>
  \<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#884C\>\<#90FD\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#6210\>\<#884C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#5373\>

  <\equation*>
    \<b-A\>=<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|\<b-alpha\><rsub|1>>>|<row|<cell|\<b-alpha\><rsub|2>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|\<b-alpha\><rsub|m>>>>>>|)>
  </equation*>

  \<#5176\>\<#4E2D\>

  <\equation*>
    \<b-alpha\><rsub|i>=<around*|(|a<rsub|i,1>,a<rsub|i,2>,\<ldots\>,a<rsub|i,n>|)>
  </equation*>

  \<#540C\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#77E9\>\<#9635\> <math|\<b-A\>>
  \<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#5217\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#6210\>\<#5217\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#5373\>

  <\equation*>
    \<b-A\>=<around*|(|\<b-beta\><rsub|1>,\<b-beta\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-beta\><rsub|n>|)>
  </equation*>

  \<#5176\>\<#4E2D\>

  <\equation*>
    \<b-beta\><rsub|j>=<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,j>>>|<row|<cell|a<rsub|2,j>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|m,j>>>>>>|)>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#5C06\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#5212\>\<#5206\>\<#6210\>\<#5C0F\>\<#5757\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#540E\>\<#7EED\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#4E2D\>\<#4F1A\>\<#770B\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#5212\>\<#5206\>\<#5F88\>\<#591A\>\<#65F6\>\<#5019\>\<#662F\>\<#6709\>\<#7528\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8FD8\>\<#4F1A\>\<#6709\>\<#66F4\>\<#4E00\>\<#822C\>\<#7684\>\<#5212\>\<#5206\>.

  <subsection|\<#77E9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#6CD5\>>

  <\definition>
    \<#8BBE\>\<#6709\> <math|m\<times\>n> \<#77E9\>\<#9635\>
    <math|\<b-A\>=<around*|(|a<rsub|i,j>|)><rsub|m\<times\>n>> \<#53CA\>
    <math|n\<times\>l> \<#77E9\>\<#9635\>
    <math|\<b-B\>=<around*|(|b<rsub|i,j>|)><rsub|n\<times\>l>>\<#FF0C\>\<#77E9\>\<#9635\>
    <math|\<b-A\>> <underline|\<#5DE6\>\<#4E58\>>
    <math|\<b-B\>>(\<#6216\>\<#8005\>\<#79F0\> <math|\<b-B\>>
    <underline|\<#53F3\>\<#4E58\>> <math|\<b-A\>>)
    \<#7684\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\> <math|m\<times\>l>
    \<#77E9\>\<#9635\> <math|\<b-C\>=<around*|(|c<rsub|i,j>|)><rsub|m\<times\>l>>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#7531\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#5F97\>\<#5230\>

    <\equation*>
      c<rsub|i,j>=<big|sum><rsub|j=1><rsup|n>a<rsub|i,j>b<rsub|j,k>
    </equation*>

    \<#5373\>\<#5143\>\<#7D20\> <math|c<rsub|i,j>> \<#662F\>\<#7531\>
    <math|\<b-A\>> \<#7684\>\<#7B2C\> <math|i> \<#884C\>\<#4E0E\>
    <math|\<b-B\>> \<#7684\>\<#7B2C\> <math|j>
    \<#5217\>\<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|\<b-A\>\<b-B\>=\<b-C\>>.
  </definition>

  \<#6CE8\>\<#610F\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#5217\>\<#6570\>\<#4E0E\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2A\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#884C\>\<#6570\>\<#8981\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#90FD\>\<#80FD\>\<#6709\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#7684\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#6CA1\>\<#6CD5\>\<#4FDD\>\<#8BC1\>\<#6709\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#4EA4\>\<#6362\>\<#5F8B\>\<#4E86\>.\<#4E0D\>\<#96BE\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#4F7F\>\<#662F\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E24\>\<#4E2A\>
  <math|n\<times\>n> \<#77E9\>\<#9635\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#4E0D\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#6709\>
  <math|\<b-A\>\<b-B\>=\<b-B\>\<b-A\>> \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5F88\>\<#91CD\>\<#8981\>\<#7684\>\<#7279\>\<#5F81\>.

  \;

  <\proposition>
    \<#77E9\>\<#9635\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#7B26\>\<#5408\>\<#7ED3\>\<#5408\>\<#5F8B\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#8BBE\>\<#6709\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#77E9\>\<#9635\>
    <math|\<b-A\>=><math|<around*|(|a<rsub|i,j>|)><rsub|m\<times\>n>>\<#3001\><math|\<b-B\>=><math|<around*|(|b<rsub|i,j>|)><rsub|n\<times\>l>>
    \<#53CA\> <math|\<b-C\>=<around*|(|c<rsub|i,j>|)><rsub|l\<times\>p>>\<#FF0C\>\<#6052\>\<#6709\>
    <math|<around*|(|\<b-A\>\<b-B\>|)>\<b-C\>=\<b-A\><around*|(|\<b-B\>\<b-C\>|)>>
    \<#6210\>\<#7ACB\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#8BB0\> <math|\<b-A\>\<b-B\>=<around*|(|p<rsub|i,j>|)><rsub|m\<times\>l>>\<#FF0C\><math|\<b-B\>\<b-C\>=<around*|(|q<rsub|i,j>|)><rsub|n\<times\>p>>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|<around*|(|\<b-A\>\<b-B\>|)>\<b-C\>> \<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
    <math|m\<times\>p> \<#77E9\>\<#9635\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#5143\>\<#7D20\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|x<rsub|i,j>>|<cell|=>|<cell|<big|sum><rsub|k=1><rsup|l>p<rsub|i,k>c<rsub|k,j>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<big|sum><rsub|k=1><rsup|l><around*|(|<big|sum><rsub|r=1><rsup|n>a<rsub|i,r>b<rsub|r,k>|)>c<rsub|k,j>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<big|sum><rsub|k=1><rsup|l><big|sum><rsub|r=1><rsup|n>a<rsub|i,r>b<rsub|r,k>c<rsub|k,j>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#800C\> <math|\<b-A\><around*|(|\<b-B\>\<b-C\>|)>>
    \<#4E5F\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\> <math|m\<times\>p>
    \<#77E9\>\<#9635\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#5143\>\<#7D20\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|y<rsub|i,j>>|<cell|=>|<cell|<big|sum><rsub|r=1><rsup|n>a<rsub|i,r>q<rsub|r,j>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<big|sum><rsub|r=1><rsup|n>a<rsub|i,r><around*|(|<big|sum><rsub|k=1><rsup|l>b<rsub|r,k>c<rsub|k,j>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<big|sum><rsub|r=1><rsup|n><big|sum><rsub|k=1><rsup|l>a<rsub|i,r>b<rsub|r,k>c<rsub|k,j>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6C42\>\<#548C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4EA4\>\<#6362\>\<#987A\>\<#5E8F\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#628A\>
    <math|a<rsub|i,r>b<rsub|r,k>c<rsub|k,j>> \<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|r=1,2,\<ldots\>,n> \<#53CA\> <math|k=1,2,\<ldots\>,l> \<#6309\>
    <math|r> \<#548C\> <math|k> \<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6307\>\<#6807\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6392\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#548C\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#5BF9\>\<#8BE5\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#6C42\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#533A\>\<#522B\>\<#53EA\>\<#5728\>\<#4E8E\>\<#5148\>\<#5BF9\>\<#884C\>\<#6C42\>\<#548C\>\<#8FD8\>\<#662F\>\<#5148\>\<#5BF9\>\<#5217\>\<#6C42\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#6700\>\<#7EC8\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#6574\>\<#4E2A\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#7684\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5C31\>\<#6709\>
    <math|x<rsub|i,j>=y<rsub|i,j>>\<#FF0C\>\<#7531\> <math|i,j>
    \<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6027\>\<#5373\>\<#77E5\>
    <math|><math|<around*|(|\<b-A\>\<b-B\>|)>\<b-C\>=\<b-A\><around*|(|\<b-B\>\<b-C\>|)>>.
  </proof>

  <section|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>>

  \;

  <subsection|\<#76F8\>\<#5173\>\<#6982\>\<#5FF5\>>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>> \<#662F\>
    <math|n> \<#4E2A\>\<#672A\>\<#77E5\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#82E5\>\<#5E72\>\<#4E2A\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#8FD9\>
    <math|n> \<#4E2A\>\<#672A\>\<#77E5\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#6210\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>

    <\equation*>
      <around*|{|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>x<rsub|1>+a<rsub|1,2>x<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|1,n>x<rsub|n>=b<rsub|1>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>x<rsub|1>+a<rsub|2,2>x<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|2,n>x<rsub|n>=b<rsub|2>>>|<row|<cell|>>|<row|<cell|a<rsub|m,1>x<rsub|1>+a<rsub|m,2>x<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|m,n>x<rsub|n>=b<rsub|m>>>>>>|\<nobracket\>>
    </equation*>

    \<#79F0\>\<#4E3A\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#672A\>\<#77E5\>\<#91CF\>
    <math|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>>
    \<#7684\><underline|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>>.
  </definition>

  \<#7EBF\>\<#6027\>\<#7684\>\<#542B\>\<#4E49\>\<#662F\>\<#6B21\>\<#6570\>\<#4E3A\>1.

  \<#4E3A\>\<#8282\>\<#7EA6\>\<#7BC7\>\<#5E45\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7B80\>\<#8BB0\>\<#4E3A\>

  <\equation*>
    <big|sum><rsub|j=1><rsup|n>a<rsub|i,j>x<rsub|j>=b<rsub|i>,i=1,2,\<ldots\>,m
  </equation*>

  \<#501F\>\<#52A9\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#FF0C\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#6709\>\<#66F4\>\<#7B80\>\<#6D01\>\<#7684\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#65B9\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#77E9\>\<#9635\>(\<#7531\>\<#5404\>\<#4E2A\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#6784\>\<#6210\>\<#7684\>\<#77E9\>\<#9635\>)

  <\equation*>
    \<b-A\>=<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>>|<cell|a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|m,1>>|<cell|a<rsub|m,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|m,n>>>>>>|)>
  </equation*>

  \<#518D\>\<#5C06\>\<#672A\>\<#77E5\>\<#91CF\>\<#770B\>\<#6210\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#7684\>\<#5E38\>\<#91CF\>\<#4E5F\>\<#770B\>\<#6210\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#5373\>

  <\equation*>
    \<b-x\>=<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|x<rsub|1>>>|<row|<cell|x<rsub|2>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|x<rsub|n>>>>>>|)>,\<b-b\>=<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|b<rsub|1>>>|<row|<cell|b<rsub|2>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|b<rsub|n>>>>>>|)>
  </equation*>

  \<#90A3\>\<#4E48\>\<#7531\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5199\>\<#6210\>

  <\equation*>
    \<b-A\>\<b-x\>=\<b-b\>
  </equation*>

  <\definition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#6570\>
    <math|\<xi\><rsub|1>,\<xi\><rsub|2>,\<ldots\>,\<xi\><rsub|n>>
    \<#4F7F\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      <around*|{|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>\<xi\><rsub|1>+a<rsub|1,2>\<xi\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|1,n>\<xi\><rsub|n>=b<rsub|1>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>\<xi\><rsub|1>+a<rsub|2,2>\<xi\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|2,n>\<xi\><rsub|n>=b<rsub|2>>>|<row|<cell|>>|<row|<cell|a<rsub|m,1>\<xi\><rsub|1>+a<rsub|m,2>\<xi\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|m,n>\<xi\><rsub|n>=b<rsub|m>>>>>>|\<nobracket\>>
    </equation*>

    \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>
    <math|><math|\<xi\><rsub|1>,\<xi\><rsub|2>,\<ldots\>,\<xi\><rsub|n>>
    \<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>

    <\equation*>
      <around*|{|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>x<rsub|1>+a<rsub|1,2>x<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|1,n>x<rsub|n>=b<rsub|1>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>x<rsub|1>+a<rsub|2,2>x<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|2,n>x<rsub|n>=b<rsub|2>>>|<row|<cell|>>|<row|<cell|a<rsub|m,1>x<rsub|1>+a<rsub|m,2>x<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|m,n>x<rsub|n>=b<rsub|m>>>>>>|\<nobracket\>>
    </equation*>

    \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\><underline|\<#89E3\>>.
  </definition>

  \<#6309\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#8BB0\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5411\>\<#91CF\>

  <\equation*>
    \<b-xi\>=<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|\<xi\><rsub|1>>>|<row|<cell|\<xi\><rsub|2>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|\<xi\><rsub|n>>>>>>|)>
  </equation*>

  \<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>
  <math|\<b-A\>\<b-x\>=\<b-b\>> \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#89E3\>\<#5411\>\<#91CF\>(\<#4ECD\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#89E3\>),\<#4E5F\>\<#5373\>
  <math|\<b-A\>\<b-xi\>=\<b-b\>>.

  <\definition>
    \<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-A\>\<b-x\>=\<b-0\>>\<#FF0C\>\<#79F0\>\<#4E3A\><underline|\<#9F50\>\<#6B21\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#77E9\>\<#9635\>
    <math|\<b-A\>=<around*|(|a<rsub|i,j>|)><rsub|m\<times\>n>>\<#FF0C\>\<#672A\>\<#77E5\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-x\>=<around*|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)><rsup|T>>\<#FF0C\><math|\<b-0\>=<around*|(|0,0,\<ldots\>,0|)><rsup|T>>.
  </definition>

  \<#5373\>\<#5E38\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#7A0B\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#4E3A\>\<#9F50\>\<#6B21\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>.

  \;

  <subsection|\<#521D\>\<#7B49\>\<#53D8\>\<#6362\>>

  <\definition>
    \<#5BF9\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#4E09\>\<#79CD\>\<#7C7B\>\<#578B\>\<#7684\>\<#64CD\>\<#4F5C\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#7684\><underline|\<#521D\>\<#7B49\>\<#53D8\>\<#6362\>>:

    <\enumerate-numeric>
      <item>\<#4E92\>\<#6362\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#4F4D\>\<#7F6E\>.

      <item>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#7AEF\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#4E58\>\<#4EE5\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#975E\>\<#96F6\>\<#7684\>\<#6570\>.

      <item>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#5DE6\>\<#53F3\>\<#4E24\>\<#7AEF\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#52A0\>\<#4E0A\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#5DE6\>\<#53F3\>\<#4E24\>\<#7AEF\>\<#7684\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#500D\>\<#6570\>.
    </enumerate-numeric>
  </definition>

  <\proposition>
    \<#5BF9\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#4F5C\>\<#521D\>\<#7B49\>\<#53D8\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#89E3\>\<#96C6\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#8BBE\> <math|\<b-xi\>=<around*|(|\<xi\><rsub|1>,\<xi\><rsub|2>,\<ldots\>,\<xi\><rsub|n>|)><rsup|T>
    \<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>
    \<b-A\>\<b-x\>=\<b-b\>> \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#89E3\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>
    <math|\<b-A\>>\<#3001\><math|\<b-x\>>\<#3001\><math|\<b-b\>>
    \<#610F\>\<#4E49\>\<#540C\>\<#524D\>\<#6587\>.
    \<#90A3\>\<#4E48\>\<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|j=1><rsup|n>a<rsub|i,j>\<xi\><rsub|j>=b<rsub|i>
    </equation*>

    \<#540C\>\<#65F6\>\<#5BF9\>\<#4E8E\> <math|i=1,2,\<ldots\>,n>
    \<#6210\>\<#7ACB\>.

    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#53D8\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#4E0D\>\<#53D8\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    \<b-xi\> \<#4ECD\>\<#65E7\>\<#662F\>\<#53D8\>\<#6362\>\<#540E\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#89E3\>\<#FF0C\>\<#53CD\>\<#8FC7\>\<#6765\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#5BF9\>\<#7684\>.

    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#79CD\>\<#53D8\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#64CD\>\<#4F5C\>\<#7684\>\<#7B2C\>
    <math|i> \<#4E2A\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#53CA\>\<#4E58\>\<#6570\>
    <math|\<lambda\>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|j=1><rsup|n>\<lambda\>a<rsub|i,j>\<xi\><rsub|j>=\<lambda\>b<rsub|i>
    </equation*>

    \<#5373\> <math|\<b-xi\>=<around*|(|\<xi\><rsub|1>,\<xi\><rsub|2>,\<ldots\>,\<xi\><rsub|n>|)><rsup|T>>
    \<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#53D8\>\<#6362\>\<#540E\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5176\>\<#4F59\>\<#5404\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#4FDD\>\<#6301\>\<#4E0D\>\<#53D8\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>
    <math|\<b-xi\>> \<#662F\>\<#53D8\>\<#6362\>\<#540E\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#89E3\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#65B0\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#89E3\>\<#662F\>\<#5426\>\<#4E5F\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#539F\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#FF0C\>\<#628A\>\<#539F\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#4F5C\>\<#7531\>\<#65B0\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#901A\>\<#8FC7\>\<#5BF9\>\<#7B2C\>
    <math|i> \<#4E2A\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#4E24\>\<#8FB9\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#4E58\>\<#4EE5\>
    <math|1/\<lambda\>> \<#5F97\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#5E94\>\<#7528\>\<#521A\>\<#624D\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#4FBF\>\<#77E5\>\<#65B0\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#89E3\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#539F\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#89E3\>.

    \ \<#5047\>\<#5B9A\>\<#662F\>\<#5C06\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#7B2C\>
    <math|i> \<#4E2A\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\> <math|\<lambda\>>
    \<#500D\>\<#52A0\>\<#5230\>\<#7B2C\> <math|k>
    \<#4E2A\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#7531\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|j=1><rsup|n>a<rsub|i,j>\<xi\><rsub|j>=b<rsub|i>
    </equation*>

    \<#4E0E\>\ 

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|j=1><rsup|n>a<rsub|k,j>\<xi\><rsub|j>=b<rsub|k>
    </equation*>

    \<#5F97\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|j=1><rsup|n><around*|(|\<lambda\>a<rsub|i,j>+a<rsub|k,j>|)>=\<lambda\>b<rsub|i>+b<rsub|k>
    </equation*>

    \<#5373\> <math|\<b-xi\>=<around*|(|\<xi\><rsub|1>,\<xi\><rsub|2>,\<ldots\>,\<xi\><rsub|n>|)><rsup|T>>
    \<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#65B0\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#4E2D\>\<#7B2C\>
    <math|k> \<#4E2A\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5176\>\<#4F59\>\<#5404\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#672A\>\<#53D8\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|\<b-xi\>> \<#662F\>\<#65B0\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#89E3\>.
    \<#53E6\>\<#4E00\>\<#65B9\>\<#9762\>\<#FF0C\>\<#539F\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#770B\>\<#4F5C\>\<#662F\>\<#7531\>\<#65B0\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#628A\>\<#7B2C\>
    <math|i> \<#4E2A\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>
    <math|<around*|(|-\<lambda\>|)>> \<#500D\>\<#52A0\>\<#5230\>\<#7B2C\>
    <math|k> \<#4E2A\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#6240\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#65B0\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#89E3\>\<#4E5F\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#662F\>\<#539F\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#89E3\>.

    \<#603B\>\<#4E4B\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E09\>\<#79CD\>\<#521D\>\<#7B49\>\<#53D8\>\<#6362\>\<#90FD\>\<#4E0D\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#89E3\>\<#96C6\>.
  </proof>

  <subsection|\<#6D88\>\<#5143\>\<#6CD5\>>

  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>

  <\equation*>
    <around*|{|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>x<rsub|1>+a<rsub|1,2>x<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|1,n>x<rsub|n>=b<rsub|1>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>x<rsub|1>+a<rsub|2,2>x<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|2,n>x<rsub|n>=b<rsub|2>>>|<row|<cell|\<cdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|m,1>x<rsub|1>+a<rsub|m,2>x<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|m,n>x<rsub|n>=b<rsub|m>>>>>>|\<nobracket\>>
  </equation*>

  \<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#4E8E\>\<#5904\>\<#7406\>\<#4E8C\>\<#5143\>\<#4E00\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#6D88\>\<#5143\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9488\>\<#5BF9\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#5904\>\<#7406\>.

  \<#9996\>\<#5148\>\<#8003\>\<#8651\> <math|x<rsub|1>>
  \<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#6240\>\<#6709\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>
  <math|x<rsub|1>> \<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#662F\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#8DF3\>\<#8FC7\>\<#63A5\>\<#4E0B\>\<#5BF9\>
  <math|x<rsub|1>> \<#7684\>\<#5904\>\<#7406\>. \<#5982\>\<#679C\>
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    \<#6240\>\<#4EE5\>\<#96C6\>\<#5408\> <math|<around*|{|0,1|}>>
    \<#53CA\>\<#5176\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#5F02\>\<#6216\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#4E00\>\<#8D77\>\<#6784\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7FA4\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#5F02\>\<#6216\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#4EA4\>\<#6362\>\<#5F8B\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#8FD8\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4EA4\>\<#6362\>\<#7FA4\>.
  </example>

  <\proposition>
    \<#7FA4\>\<#4E2D\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#7684\>\<#5DE6\>\<#9006\>\<#5143\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#53F3\>\<#9006\>\<#5143\>\<#FF0C\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#7684\>\<#53F3\>\<#9006\>\<#5143\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#5DE6\>\<#9006\>\<#5143\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#8BBE\> <math|a> \<#7684\>\<#5DE6\>\<#9006\>\<#5143\>\<#662F\>
    <math|b>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6709\> <math|b
    a=e>\<#FF0C\>\<#800C\> <math|b> \<#4E5F\>\<#662F\>\<#6709\>\<#5DE6\>\<#9006\>\<#5143\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>\<#5176\>\<#4E3A\>
    <math|c>\<#FF0C\>\<#5373\> <math|c b=e>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6709\>

    <\equation*>
      a b=e<around*|(|a b|)>=<around*|(|c b|)><around*|(|a b|)>=c<around*|(|b
      a|)>b=c e b=c<around*|(|e b|)>=c b=e
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8BF4\>\<#660E\> <math|b> \<#4E5F\>\<#662F\> <math|a>
    \<#7684\>\<#53F3\>\<#9006\>\<#5143\>.

    \<#5DE6\>\<#9006\>\<#5143\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#53F3\>\<#9006\>\<#5143\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#7FA4\>\<#4E2D\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#90FD\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#53F3\>\<#9006\>\<#5143\>.

    \<#518D\>\<#8BBE\> <math|a> \<#6709\>\<#53F3\>\<#9006\>\<#5143\>
    <math|d>\<#FF0C\>\<#5219\> <math|a d=e>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>

    <\equation*>
      d a=e<around*|(|d a|)>=<around*|(||)>
    </equation*>

    \;
  </proof>

  <\proposition>
    \<#7FA4\>\<#7684\>\<#5DE6\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#53F3\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#8BBE\> <math|e> \<#662F\>\<#7FA4\>\<#7684\>\<#5DE6\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|\<forall\>a\<in\>A>\<#FF0C\>\<#6709\> <math|e
    a=e>\<#FF0C\>\<#8BBE\> <math|a> \<#7684\>\<#5DE6\>\<#9006\>\<#5143\>\<#4E3A\>
    <math|b>\<#FF0C\>\<#5219\> <math|b a=a b=e>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>

    <\equation*>
      a e=a<around*|(|b a|)>=<around*|(|a b|)>a=e a=a
    </equation*>

    \<#5373\>\<#8BC1\>.
  </proof>

  <\proposition>
    \<#7FA4\>\<#4E2D\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#7684\>\<#5DE6\>\<#53F3\>\<#9006\>\<#5143\>\<#5747\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E14\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5DE6\>\<#53F3\>\<#9006\>\<#5143\>\<#76F8\>\<#7B49\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#8BBE\> <math|a\<in\>G> \<#6709\>\<#5DE6\>\<#9006\>\<#5143\>
    <math|b>\<#FF0C\>\<#53F3\>\<#9006\>\<#5143\>
    <math|c>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\> <math|b a=a b=e>, <math|a c=e>.
  </proof>

  <chapter|\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#3001\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#4E0E\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>>

  <section|\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>>

  <subsection|\<#6392\>\<#5217\>>

  <\definition>
    \<#628A\> <math|1,2,\<ldots\>,n> \<#8FD9\> <math|n>
    \<#4E2A\>\<#6570\>\<#6309\>\<#67D0\>\<#79CD\>\<#987A\>\<#5E8F\>\<#5199\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#4E3A\>
    <math|n> \<#7684\>\<#6709\>\<#5E8F\>\<#6570\>\<#7EC4\>
    <math|<around*|(|a<rsub|1>,a<rsub|2>,\<ldots\>,a<rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#5E8F\>\<#6570\>\<#7EC4\>\<#4E2D\>\<#90FD\>\<#51FA\>\<#73B0\>\<#4E14\>\<#4EC5\>\<#51FA\>\<#73B0\>\<#4E00\>\<#6B21\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#6709\>\<#5E8F\>\<#6570\>\<#7EC4\><math|<around*|(|a<rsub|1>,a<rsub|2>,\<ldots\>,a<rsub|n>|)>>
    \<#662F\> <math|1,2,\<ldots\>,n> \<#8FD9\> <math|n>
    \<#4E2A\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\><underline|\<#6392\>\<#5217\>><em|<em|<underline|>>>.
  </definition>

  <\definition>
    \<#5728\> <math|1,2,\<ldots\>,n> \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6392\>\<#5217\>
    <math|<around*|(|a<rsub|1>,a<rsub|2>,\<ldots\>,a<rsub|n>|)>>
    \<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#4E0B\>\<#6807\>
    <math|i> \<#548C\> <math|j>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\> <math|i\<less\>j>
    \<#4E14\> <math|a<rsub|i>\<gtr\>a<rsub|j>>
    \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5927\>\<#5C0F\>\<#987A\>\<#5E8F\>\<#4E0E\>\<#5E8F\>\<#53F7\>\<#7684\>\<#5927\>\<#5C0F\>\<#6B63\>\<#597D\>\<#76F8\>\<#53CD\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#65E0\>\<#5E8F\>\<#6570\>\<#7EC4\>
    <math|a<rsub|i>,a<rsub|j>><math|> \<#662F\>\<#8FD9\>\<#6392\>\<#5217\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\><underline|\<#9006\>\<#5E8F\>\<#5BF9\>>.\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6392\>\<#5217\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#9006\>\<#5E8F\>\<#5BF9\>\<#7684\>\<#603B\>\<#6570\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#8BE5\>\<#6392\>\<#5217\>\<#7684\><underline|\<#9006\>\<#5E8F\>\<#6570\>>.
  </definition>

  <\definition>
    \<#9006\>\<#5E8F\>\<#6570\>\<#4E3A\>\<#5947\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6392\>\<#5217\>\<#79F0\>\<#4E3A\><underline|\<#5947\>\<#6392\>\<#5217\>>\<#FF0C\>\<#9006\>\<#5E8F\>\<#6570\>\<#4E3A\>\<#5076\>\<#6570\>\<#7684\>\<#6392\>\<#5217\>\<#79F0\>\<#4E3A\><underline|\<#5076\>\<#6392\>\<#5217\>>.
  </definition>

  <\definition>
    \<#5728\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6392\>\<#5217\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#4E92\>\<#6362\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4F4D\>\<#7F6E\>\<#FF0C\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#5BF9\>\<#6392\>\<#5217\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#4E00\>\<#6B21\><underline|\<#5BF9\>\<#6362\>>.
  </definition>

  <\proposition>
    <label|parity-of-range-by-exchange>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#6392\>\<#5217\>\<#7684\>\<#5947\>\<#5076\>\<#6027\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#5728\>\<#6392\>\<#5217\><math|<around*|(|a<rsub|1>,a<rsub|2>,\<ldots\>,a<rsub|n>|)>>\<#4E2D\>\<#4E92\>\<#6362\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#4E3A\>
    <math|i> \<#548C\> <math|j> \<#7684\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>
    <math|i> \<#4E0E\> <math|j> \<#4E4B\>\<#5DEE\> <math|<around*|\||i-j|\|>>
    \<#4F5C\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#5F52\>\<#7EB3\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#9996\>\<#5148\>\<#8003\>\<#8651\>
    <math|<around*|\||i-j|\|>=1> \<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#76F8\>\<#90BB\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#82E5\>\<#539F\>\<#6392\>\<#5217\>\<#662F\>

    <\equation*>
      <around*|(|\<ldots\>,a<rsub|i>,a<rsub|j>,\<ldots\>|)>
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#6362\> <math|a<rsub|i>> \<#548C\> <math|a<rsub|j>>
    \<#4E4B\>\<#540E\>\<#7684\>\<#65B0\>\<#6392\>\<#5217\>\<#662F\>\ 

    <\equation*>
      <around*|(|\<ldots\>,b<rsub|i>=a<rsub|j>,b<rsub|j>=a<rsub|i>,\<ldots\>|)>
    </equation*>

    \<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\><math|a<rsub|i>>
    \<#4E0E\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#5C0F\>\<#4E8E\> <math|i>
    \<#53CA\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#5927\>\<#4E8E\> <math|j>
    \<#7684\>\<#90A3\>\<#4E9B\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#7EC4\>\<#6210\>\<#7684\>\<#9006\>\<#5E8F\>\<#5BF9\>\<#7684\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#4E0D\>\<#53D8\>(\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#76F8\>\<#5BF9\>\<#4F4D\>\<#7F6E\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#6539\>\<#53D8\>)\<#FF0C\>\<#540C\>\<#7406\>\<#FF0C\><math|a<rsub|j>>
    \<#4E0E\>\<#90A3\>\<#4E9B\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#7EC4\>\<#6210\>\<#7684\>\<#9006\>\<#5E8F\>\<#5BF9\>\<#7684\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#4E5F\>\<#4E0D\>\<#53D8\>\<#FF0C\>\<#6574\>\<#4E2A\>\<#6392\>\<#5217\>\<#7684\>\<#9006\>\<#5E8F\>\<#5BF9\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#4F1A\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#7684\>\<#662F\>
    <math|a<rsub|i>> \<#4E0E\> <math|a<rsub|j>>
    \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5BF9\>\<#7684\>\<#9006\>\<#5E8F\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#539F\>\<#6765\>
    <math|a<rsub|i>\<less\>a<rsub|j>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#7531\>\<#4E8E\>
    <math|b<rsub|i>=a<rsub|j>\<gtr\>a<rsub|i>=b<rsub|j>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#65B0\>\<#6392\>\<#5217\>\<#7684\>\<#9006\>\<#5E8F\>\<#6570\>\<#5728\>\<#539F\>\<#6392\>\<#5217\>\<#7684\>\<#57FA\>\<#7840\>\<#4E0A\>\<#589E\>\<#52A0\>1\<#FF0C\>\<#540C\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#539F\>\<#6765\>
    <math|a<rsub|i>\<gtr\>a<rsub|j>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#5C06\>\<#4F1A\>\<#4F7F\>\<#65B0\>\<#6392\>\<#5217\>\<#7684\>\<#9006\>\<#5E8F\>\<#6570\>\<#5728\>\<#539F\>\<#6392\>\<#5217\>\<#7684\>\<#57FA\>\<#7840\>\<#4E0A\>\<#51CF\>\<#5C11\>1\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#7BA1\>\<#662F\>\<#54EA\>\<#79CD\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#9006\>\<#5E8F\>\<#6570\>\<#7684\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#53D8\>\<#5316\>\<#5C06\>\<#4F1A\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#65B0\>\<#6392\>\<#5217\>\<#4E0E\>\<#539F\>\<#6392\>\<#5217\>\<#7684\>\<#5947\>\<#5076\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#53CD\>.
    \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#547D\>\<#9898\>\<#5728\>
    <math|<around*|\||i-j|\|>=1> \<#65F6\>\<#6210\>\<#7ACB\>.

    \<#4E3A\>\<#4E86\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#53D9\>\<#8FF0\>\<#65B9\>\<#4FBF\>\<#FF0C\>\<#7528\>
    <math|X<around*|(|i,j|)>> \<#6765\>\<#8868\>\<#793A\>\<#5BF9\>\<#6392\>\<#5217\>\<#4E2D\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#4E3A\>
    <math|i> \<#548C\> <math|j> \<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#4E00\>\<#6B21\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#6CD5\>
    <math|X<around*|(|i,j|)>X<around*|(|p,q|)>>
    \<#8868\>\<#793A\>\<#5148\>\<#5BF9\>\<#6392\>\<#5217\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#5BF9\>\<#6362\>
    <math|X<around*|(|i,j|)>>\<#FF0C\>\<#7136\>\<#540E\>\<#5BF9\>\<#6240\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#7684\>\<#65B0\>\<#6392\>\<#5217\>\<#518D\>\<#8FDB\>\<#884C\>
    <math|X<around*|(|p,q|)>> \<#5BF9\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#65BD\>\<#884C\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#64CD\>\<#4F5C\>.

    \<#73B0\>\<#5728\>\<#5047\>\<#8BBE\>\<#547D\>\<#9898\>\<#5728\>
    <math|<around*|\||i-j|\|>\<leqslant\>m>
    \<#65F6\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#6765\>\<#8003\>\<#8651\>
    <math|<around*|\||i-j|\|>=m+1<around*|(|\<less\>n-1|)>>
    \<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#8BBE\>\<#539F\>\<#6392\>\<#5217\>\<#662F\>

    <\equation*>
      <around*|(|\<ldots\>,a<rsub|i>,\<ldots\>,a<rsub|j>,\<ldots\>|)>
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#6362\>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#7684\>\<#65B0\>\<#6392\>\<#5217\>\<#662F\>

    <\equation*>
      <around*|(|\<ldots\>,b<rsub|i>=a<rsub|j>,\<ldots\>,b<rsub|j>=a<rsub|i>,\<ldots\>|)>
    </equation*>

    \<#5176\>\<#4E2D\> <math|<around*|\||i-j|\|>=m+1>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8003\>\<#8651\>\<#628A\>\<#65B0\>\<#6392\>\<#5217\>\<#770B\>\<#6210\>\<#662F\>\<#7ECF\>\<#7531\>\<#4E09\>\<#6B21\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      X<around*|(|i,j|)>=X<around*|(|i,j-1|)>X<around*|(|j-1,j|)>X<around*|(|i,j-1|)>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#91CC\>\<#4E24\>\<#8FB9\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#7684\>\<#542B\>\<#4E49\>\<#662F\>\<#6307\>\<#FF0C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6392\>\<#5217\>\<#5206\>\<#522B\>\<#7ECF\>\<#7531\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#5DE6\>\<#53F3\>\<#4E24\>\<#4FA7\>\<#7684\>(\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6216\>\<#591A\>\<#4E2A\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#7684\>)\<#5BF9\>\<#6362\>\<#64CD\>\<#4F5C\>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#5F97\>\<#65B0\>\<#6392\>\<#5217\>\<#76F8\>\<#540C\>(\<#5373\>\<#7B49\>\<#6548\>\<#64CD\>\<#4F5C\>).\<#800C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#7684\>\<#4E09\>\<#6B21\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#64CD\>\<#4F5C\>\<#6765\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#6B21\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#65F6\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#4E24\>\<#6807\>\<#4E4B\>\<#5DEE\>\<#5747\>\<#4E0D\>\<#8D85\>\<#8FC7\>
    <math|m>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\>\<#5F52\>\<#7EB3\>\<#5047\>\<#8BBE\>\<#FF0C\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#7684\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#64CD\>\<#4F5C\>\<#5C06\>\<#4F1A\>\<#4F7F\>\<#6392\>\<#5217\>\<#7684\>\<#5947\>\<#5076\>\<#6027\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#4E09\>\<#6B21\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|<around*|\||i-j|\|>=m+1> \<#4E5F\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#547D\>\<#9898\>.
    \ 
  </proof>

  <\theorem>
    \<#4EFB\>\<#4F55\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6392\>\<#5217\>
    <math|<around*|(|a<rsub|1>,a<rsub|2>,\<ldots\>,a<rsub|n>|)>>
    \<#90FD\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7ECF\>\<#7531\>\<#539F\>\<#59CB\>\<#6392\>\<#5217\>
    <math|<around*|(|1,2,\<ldots\>,n|)>> \<#7ECF\>\<#8FC7\>\<#4E00\>\<#7CFB\>\<#5217\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#800C\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#6B21\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5947\>\<#5076\>\<#6027\>\<#4E0E\>\<#6392\>\<#5217\>\<#7684\>\<#5947\>\<#5076\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#540C\>.
  </theorem>

  <\proof>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6392\>\<#5217\> <math|<around*|(|a<rsub|1>,a<rsub|2>,\<ldots\>,a<rsub|n>|)>>
    \<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|a<rsub|1>\<neq\>1>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5FC5\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#4E0B\>\<#6807\>
    <math|j<around*|(|\<gtr\>1|)>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|a<rsub|j>=1>\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#501F\>\<#7528\>\<#524D\>\<#6587\>\<#7684\>\<#8BB0\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#4F5C\>\<#5BF9\>\<#6362\>
    <math|X<around*|(|1,j|)>>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#662F\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#65B0\>\<#6392\>\<#5217\>\<#7684\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#4E3A\>1\<#FF0C\>\<#63A5\>\<#4E0B\>\<#6765\>\<#518D\>\<#8003\>\<#8651\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B83\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#4E8E\>2\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#628A\>\<#5B83\>\<#4E0E\>\<#540E\>\<#9762\>\<#7684\>2\<#4F5C\>\<#4E00\>\<#6B21\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#5373\>\<#53EF\>\<#4F7F\>\<#5F97\>2\<#653E\>\<#5728\>\<#7B2C\>2\<#4E2A\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4F4D\>\<#7F6E\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#7684\>\<#64CD\>\<#4F5C\>\<#518D\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#4E0B\>\<#53BB\>\<#FF0C\>\<#6BCF\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#4E00\>\<#6B21\>\<#64CD\>\<#4F5C\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#4F1A\>\<#7EA0\>\<#6B63\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4F4D\>\<#7F6E\>\<#FF0C\>\<#7ECF\>\<#8FC7\>\<#6700\>\<#591A\>
    <math|n> \<#6B21\>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#53EF\>\<#5C06\>\<#6392\>\<#5217\>
    <math|<around*|(|a<rsub|1>,a<rsub|2>,\<ldots\>,a<rsub|n>|)>>
    \<#8FD8\>\<#539F\>\<#4E3A\> <math|<around*|(|1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#662F\>\<#53EF\>\<#9006\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#8BBE\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#65BD\>\<#884C\>\<#7684\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#4E3A\>
    <math|X<rsub|1>X<rsub|2>\<ldots\>X<rsub|m>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5BF9\>\<#539F\>\<#59CB\>\<#6392\>\<#5217\>
    <math|<around*|(|1,2,\<ldots\>,n|)>> \<#65BD\>\<#884C\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#5E8F\>\<#5217\>
    <math|X<rsub|m>X<rsub|m-1>\<cdots\>X<rsub|1>>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#53EF\>\<#5F97\>\<#5230\>
    <math|<around*|(|a<rsub|1>,a<rsub|2,>\<ldots\>,a<rsub|n>|)>>.\<#547D\>\<#9898\>\<#7684\>\<#524D\>\<#534A\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#8BC1\>\<#660E\>.

    \<#547D\>\<#9898\>\<#7684\>\<#540E\>\<#534A\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\><cite|parity-of-range-by-exchange>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#539F\>\<#59CB\>\<#6392\>\<#5217\>
    <math|<around*|(|1,2,\<ldots\>,n|)>> \<#662F\>\<#5076\>\<#6392\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7ECF\>\<#8FC7\>\<#5947\>\<#6570\>\<#6B21\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#5947\>\<#6392\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#7ECF\>\<#8FC7\>\<#5076\>\<#6570\>\<#6B21\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#5076\>\<#6392\>\<#5217\>.
  </proof>

  <subsection|\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>>

  <\definition>
    \<#5C06\>\<#5982\>\<#4E0B\> <math|n> \<#884C\> <math|m>
    \<#5217\>\<#7684\>\<#6570\>\<#9635\>

    <\equation*>
      <around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,m>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>>|<cell|a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|2,m>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,m>>>>>>|)>
    </equation*>

    \<#79F0\>\<#4E3A\> \<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7684\> <math|n> \ \<#884C\>
    <math|m> \<#5217\>\<#7684\><underline|\<#77E9\>\<#9635\>>\<#FF0C\>\<#7B80\>\<#8BB0\>\<#4E3A\>
    <math|n\<times\>m> <underline|\<#77E9\>\<#9635\>>.
  </definition>

  <\definition>
    \<#79F0\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#884C\>\<#6570\>\<#548C\>\<#5217\>\<#6570\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>
    <math|n\<times\>n> \<#77E9\>\<#9635\>

    <\equation*>
      <around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>>|<cell|a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>|)>
    </equation*>

    \<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\> <math|n> \ \<#9636\><underline|\<#65B9\>\<#9635\>>.
  </definition>

  <\definition>
    (\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#5B9A\>\<#4E49\>) \<#4E00\> \<#4E2A\>
    <math|n> \<#9636\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#7684\><underline|\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6570\>(\<#79F0\>\<#4E3A\>
    <math|n> \<#9636\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>)\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>

    <\equation*>
      <around*|\||<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>>|<cell|a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>|\|>
    </equation*>

    \<#5176\>\<#503C\>\<#662F\>\<#7531\>\<#6240\>\<#6709\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#884C\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#5217\>\<#7684\>
    <math|n> \<#4E2A\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#79EF\>

    <\equation*>
      a<rsub|1,i<rsub|1>>a<rsub|2,i<rsub|2>>\<cdots\>a<rsub|n,i<rsub|n>>
    </equation*>

    \<#7684\>\<#4EE3\>\<#6570\>\<#548C\>, \<#5176\>\<#4E2D\>
    <math|<around*|(|i<rsub|1>,i<rsub|2>,\<ldots\>,i<rsub|n>|)>> \<#662F\>
    <math|<around*|(|1,2,\<ldots\>,n|)>> \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6392\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#8FD8\>\<#9644\>\<#52A0\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B63\>\<#8D1F\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#5F53\>\<#8BE5\>\<#6392\>\<#5217\>\<#4E3A\>\<#5947\>\<#6392\>\<#5217\>\<#65F6\>\<#5E26\>\<#8D1F\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#4E3A\>\<#5076\>\<#6392\>\<#5217\>\<#65F6\>\<#5E26\>\<#6B63\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#501F\>\<#7528\>\<#9006\>\<#5E8F\>\<#6570\>
    <math|\<tau\><around*|(|i<rsub|1>,i<rsub|2>,\<ldots\>,i<rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5199\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      <around*|(|-1|)><rsup|\<tau\><around*|(|i<rsub|1>,i<rsub|2>,\<ldots\>,i<rsub|n>|)>>a<rsub|1,i<rsub|1>>a<rsub|2,i<rsub|2>>\<cdots\>a<rsub|n,i<rsub|n>>
    </equation*>

    \<#800C\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#6240\>\<#6709\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#7684\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#9879\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      <around*|\||<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>>|<cell|a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>|\|>=<big|sum><rsub|<around*|(|i<rsub|1>,i<rsub|2>,\<ldots\>,i<rsub|n>|)>><around*|(|-1|)><rsup|\<tau\><around*|(|i<rsub|1>,i<rsub|2>,\<ldots\>,i<rsub|n>|)>>a<rsub|1,i<rsub|1>>a<rsub|2,i<rsub|2>>\<cdots\>a<rsub|n,i<rsub|n>>
    </equation*>

    \<#6C42\>\<#548C\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#8868\>\<#793A\>\<#5BF9\>
    <math|<around*|(|1,2,\<ldots\>,n|)>> \<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#6392\>\<#5217\>
    <math|<around*|(|i<rsub|1>,i<rsub|2>,\<ldots\>,i<rsub|n>|)>>
    \<#8FDB\>\<#884C\>\<#6C42\>\<#548C\>.
  </definition>

  \<#5982\>\<#679C\>\<#7528\> <math|A> \<#8868\>\<#793A\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>
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  <math|<around*|\||A|\|>> \<#6765\>\<#8868\>\<#793A\>.

  \<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\><math|n> \<#9636\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#5171\>\<#6709\>
  <math|n!> \<#9879\>.

  <\proposition>
    <inactive|<label|determinant-extend-by-line-or-column>>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
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    <math|<around*|(|i<rsub|1>,i<rsub|2>,\<ldots\>,i<rsub|n>|)>> \<#548C\>
    <math|<around*|(|j<rsub|1>,j<rsub|2>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>
    \<#90FD\>\<#662F\> <math|<around*|(|1,2,\<ldots\>,n|)>>
    \<#7684\>\<#6392\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#6709\>

    <\equation*>
      <around*|\||<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>>|<cell|a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>|\|>=<big|sum><rsub|<around*|(|j<rsub|1>,j<rsub|2>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>><around*|(|-1|)><rsup|\<tau\><around*|(|i<rsub|1>,i<rsub|2>,\<ldots\>,i<rsub|n>|)>+\<tau\><around*|(|j<rsub|1>,j<rsub|2>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>a<rsub|i<rsub|1>,j<rsub|1>>a<rsub|i<rsub|2>,j<rsub|2>>\<cdots\>a<rsub|i<rsub|n>,j<rsub|n>>
    </equation*>

    \<#53CA\>

    <\equation*>
      <around*|\||<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>>|<cell|a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>|\|>=<big|sum><rsub|<around*|(|i<rsub|1>,i<rsub|2>,\<ldots\>,i<rsub|n>|)>><around*|(|-1|)><rsup|\<tau\><around*|(|i<rsub|1>,i<rsub|2>,\<ldots\>,i<rsub|n>|)>+\<tau\><around*|(|j<rsub|1>,j<rsub|2>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>a<rsub|i<rsub|1>,j<rsub|1>>a<rsub|i<rsub|2>,j<rsub|2>>\<cdots\>a<rsub|i<rsub|n>,j<rsub|n>>
    </equation*>

    <\equation*>
      \;
    </equation*>

    \<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#8868\>\<#793A\>\<#56FA\>\<#5B9A\>
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    <math|<around*|(|j<rsub|1>,j<rsub|2>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>
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    <math|<around*|(|j<rsub|1>,j<rsub|2>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>
    \<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#5BF9\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>
    <math|<around*|(|i<rsub|1>,i<rsub|2>,\<ldots\>,i<rsub|n>|)>>
    \<#8FDB\>\<#884C\>\<#6C42\>\<#548C\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#884C\>\<#5E8F\>
    <math|<around*|(|i<rsub|1>,i<rsub|2>,\<ldots\>,i<rsub|n>|)>>
    \<#90FD\>\<#662F\>\<#56FA\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#FF0C\>\<#884C\>\<#5E8F\>\<#90FD\>\<#662F\>
    <math|<around*|(|1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#786E\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#6392\>\<#5E8F\>
    <math|> <math|<around*|(|j<rsub|1>,j<rsub|2>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#7684\>
    <math|a<rsub|1,j<rsub|1>>a<rsub|2,j<rsub|2>>\<cdots\>a<rsub|n,j<rsub|n>>>
    \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#4E00\>\<#4E00\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7740\>\<#6B64\>\<#5904\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#53F3\>\<#4FA7\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#79EF\>
    <math|a<rsub|i<rsub|1>,j<rsub|1>>a<rsub|i<rsub|2>,j<rsub|2>>\<cdots\>a<rsub|i<rsub|n>,j<rsub|n>>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#80FD\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#6B63\>\<#8D1F\>\<#53F7\>\<#4E5F\>\<#4E00\>\<#81F4\>\<#7684\>\<#8BDD\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>.
    \<#7531\>\<#4E8E\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#662F\>\<#7B26\>\<#5408\>\<#4EA4\>\<#6362\>\<#5F8B\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8003\>\<#8651\>\<#5C06\>
    <math|a<rsub|i<rsub|1>,j<rsub|1>>a<rsub|i<rsub|2>,j<rsub|2>>\<cdots\>a<rsub|i<rsub|n>,j<rsub|n>>>
    \<#7684\>\<#56E0\>\<#5B50\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#4E00\>\<#7CFB\>\<#5217\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#56E0\>\<#5B50\>\<#7684\>\<#884C\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#987A\>\<#5E8F\>\<#53D8\>\<#6210\>
    <math|<around*|(|1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#7684\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#76F8\>\<#5F53\>\<#4E8E\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#5BF9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6392\>\<#5217\>
    <math|<around*|(|i<rsub|1>,i<rsub|2>,\<ldots\>,i<rsub|n>|)>> \<#548C\>
    <math|<around*|(|j<rsub|1>,j<rsub|2>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>
    \<#65BD\>\<#884C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#7684\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#4F1A\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#6539\>\<#53D8\>
    <math|\<tau\><around*|(|i<rsub|1>,i<rsub|2>,\<ldots\>,i<rsub|n>|)>>
    \<#548C\> <math|\<tau\><around*|(|j<rsub|1>,j<rsub|2>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>
    \<#7684\>\<#5947\>\<#5076\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#5F71\>\<#54CD\>
    <math|<around*|(|-1|)><rsup|\<tau\><around*|(|i<rsub|1>,i<rsub|2>,\<ldots\>,i<rsub|n>|)>+\<tau\><around*|(|j<rsub|1>,j<rsub|2>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>>
    \<#7684\>\<#7B26\>\<#53F7\>.
  </proof>

  \<#7531\>\<#6B64\>\<#7ACB\>\<#5373\>\<#5F97\>\<#51FA\>

  <\proposition>
    \<#5BF9\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#8F6C\>\<#7F6E\>\<#FF0C\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#4E0D\>\<#53D8\>.
  </proposition>

  <subsection|\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>>

  \;

  <\proposition>
    \<#5BF9\>\<#6362\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#884C\>\<#7684\>\<#4F4D\>\<#7F6E\>\<#FF0C\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#503C\>\<#53D8\>\<#4E3A\>\<#76F8\>\<#53CD\>\<#6570\>.
  </proposition>

  \<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>

  <\equation*>
    <det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|i,1>>|<cell|a<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|j,1>>|<cell|a<rsub|j,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|j,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>=-<det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|j,1>>|<cell|a<rsub|j,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|j,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|i,1>>|<cell|a<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>
  </equation*>

  <\proof>
    \<#5DE6\>\<#8FB9\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#7684\>\<#9879\>\ 

    <\equation*>
      <around*|(|-1|)><rsup|\<tau\><around*|(|k<rsub|1>,\<ldots\>k<rsub|i>,\<ldots\>k<rsub|j>,\<ldots\>,k<rsub|n>|)>>a<rsub|1,k<rsub|1>>\<cdots\>a<rsub|i,k<rsub|i>>\<cdots\>a<rsub|j,k<rsub|j>>\<cdots\>a<rsub|n,k<rsub|n>>
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7740\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#9879\>

    <\equation*>
      <around*|(|-1|)><rsup|\<tau\><around*|(|k<rsub|1>,\<ldots\>k<rsub|j>,\<ldots\>k<rsub|i>,\<ldots\>,k<rsub|n>|)>>a<rsub|1,k<rsub|1>>\<cdots\>a<rsub|j,k<rsub|j>>\<cdots\>a<rsub|i,k<rsub|i>>\<cdots\>a<rsub|n,k<rsub|n>>
    </equation*>

    \<#4E58\>\<#79EF\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#662F\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#6709\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#6709\>\<#5DEE\>\<#5F02\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#6392\>\<#5217\>
    <math|><math|k<rsub|1>,\<ldots\>k<rsub|i>,\<ldots\>k<rsub|j>,\<ldots\>,k<rsub|n>>
    \<#4E0E\> <math|k<rsub|1>,\<ldots\>k<rsub|j>,\<ldots\>k<rsub|i>,\<ldots\>,k<rsub|n>>
    \<#76F8\>\<#5DEE\>\<#4E00\>\<#6B21\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5177\>\<#6709\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#5947\>\<#5076\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#4E0A\>\<#9762\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#9879\>\<#5177\>\<#6709\>\<#76F8\>\<#53CD\>\<#7684\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5DE6\>\<#53F3\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#7684\>\<#9879\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E00\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#5FC5\>\<#4E3A\>\<#76F8\>\<#53CD\>\<#6570\>.
  </proof>

  <\proposition>
    \<#628A\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#884C\>\<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#90FD\>\<#4E58\>\<#4E0A\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#500D\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#4E5F\>\<#5C06\>\<#53D8\>\<#4E3A\>\<#539F\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#540C\>\<#6837\>\<#7684\>\<#500D\>\<#6570\>.
  </proposition>

  \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>

  <\equation*>
    <det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|k
    a<rsub|i,1>>|<cell|k a<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|k
    a<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>=k<det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|i,1>>|<cell|a<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|
    a<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>
  </equation*>

  <\proof>
    \<#6839\>\<#636E\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#5C55\>\<#5F0F\><inactive|<cite|determinant-extend-by-line-or-column>>

    <\equation*>
      <det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|i,1>>|<cell|a<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|
      a<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>=<big|sum><rsub|<around*|(|s<rsub|1>,s<rsub|2>,\<ldots\>,s<rsub|n>|)>><around*|(|-1|)><rsup|\<tau\><around*|(|r<rsub|1>,r<rsub|2>,\<ldots\>,r<rsub|n>|)>+\<tau\><around*|(|s<rsub|1>,s<rsub|2>,\<ldots\>,s<rsub|n>|)>>a<rsub|r<rsub|1>,s<rsub|1>>a<rsub|r<rsub|2>,s<rsub|2>>\<cdots\>a<rsub|r<rsub|n>,s<rsub|n>>
    </equation*>

    \<#6CE8\>\<#610F\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#662F\>\<#56FA\>\<#5B9A\>\<#6392\>\<#5217\>
    <math|<around*|(|r<rsub|1>,r<rsub|2>,\<ldots\>,r<rsub|n>|)>>
    \<#4E4B\>\<#540E\>\<#5BF9\>\<#6240\>\<#6709\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#6392\>\<#5217\>
    <math|<around*|(|s<rsub|1>,s<rsub|2>,\<ldots\>,s<rsub|n>|)>>
    \<#904D\>\<#5386\>\<#6C42\>\<#548C\>.

    \<#5728\>\<#8FD9\>\<#56FA\>\<#5B9A\>\<#6392\>\<#5217\>
    \ <math|<around*|(|r<rsub|1>,r<rsub|2>,\<ldots\>,r<rsub|n>|)>>
    \<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#8BBE\> <math|r<rsub|t>=i>\<#FF0C\>\<#628A\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#53F3\>\<#8FB9\>
    <math|s<rsub|t>> \<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#9879\>\<#5F52\>\<#5E76\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#8D77\>(\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#4ECE\>\<#7B2C\>
    <math|i> \<#884C\>\<#53D6\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#5217\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#7684\>\<#9879\>)\<#5E76\>\<#63D0\>\<#53D6\>\<#51FA\>\<#516C\>\<#56E0\>\<#5B50\>
    <math|a<rsub|r<rsub|t>,s<rsub|t>>>\<#FF0C\>\<#7136\>\<#540E\>\<#6309\>\<#7167\>
    <math|s<rsub|t>> \<#91CD\>\<#65B0\>\<#6392\>\<#5E8F\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#5F97\>\<#5230\>

    <\equation*>
      <det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|i,1>>|<cell|a<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|
      a<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>=a<rsub|i<rsub|>,1>B<rsub|i,1>+a<rsub|i,2>B<rsub|i,2>+\<cdots\>+a<rsub|i,n>B<rsub|i,n>
    </equation*>

    \<#5176\>\<#4E2D\> <math|B<rsub|i,j><around*|(|j=1,2,\<ldots\>,n|)>>
    \<#662F\>\<#4E00\>\<#4E9B\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#4EE3\>\<#6570\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#4E14\>
    <math|B<rsub|i,j>> \<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#5747\>\<#4E0D\>\<#518D\>\<#542B\>\<#6709\>\<#539F\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#7B2C\>
    <math|i> \<#884C\>\<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#56E0\>\<#5B50\>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#4E0E\>\<#539F\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#7B2C\>
    <math|i> \<#884C\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#4FBF\>\<#77E5\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#6210\>\<#7ACB\>.
  </proof>

  <\proposition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#4E00\>\<#4E2A\> <math|n>
    \<#9636\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#4E2D\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#884C\>\<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#53E6\>\<#5916\>\<#4E24\>\<#4E2A\>
    <math|n> \<#9636\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#4E2D\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#9664\>\<#8BE5\>\<#884C\>\<#4EE5\>\<#5916\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#90FD\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#7B49\>\<#4E8E\>\<#540E\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#4E4B\>\<#548C\>.
  </proposition>

  \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\ 

  <\equation*>
    <det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|b<rsub|i,1>+c<rsub|i,1>>|<cell|b<rsub|i,2>+c<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|
    b<rsub|i,n>+c<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>=<det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|b<rsub|i,1>>|<cell|b<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|
    b<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>+<det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|c<rsub|i,1>>|<cell|c<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|
    c<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>
  </equation*>

  <\proof>
    \<#4ECE\>\<#4E0A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#547D\>\<#9898\>\<#7684\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E2D\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#5F97\>\<#77E5\>

    <\equation*>
      <det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|i,1>>|<cell|a<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|
      a<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>=a<rsub|i<rsub|>,1>B<rsub|i,1>+a<rsub|i,2>B<rsub|i,2>+\<cdots\>+a<rsub|i,n>B<rsub|i,n>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#91CC\> <math|B<rsub|i,n>> \<#4E0E\>\<#7B2C\> <math|i>
    \<#884C\>\<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#6B64\>\<#5F0F\>\<#7ACB\>\<#5F97\>\<#6240\>\<#8981\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>.
  </proof>

  \<#7531\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#547D\>\<#9898\>\<#4FBF\>\<#53EF\>\<#5F97\>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|<det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|\<lambda\>
    b<rsub|i,1>+\<mu\>c<rsub|i,1>>|<cell|\<lambda\>b<rsub|i,2>+\<mu\>c<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|
    \<lambda\>b<rsub|i,n>+\<mu\>c<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|\<lambda\><det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|b<rsub|i,1>>|<cell|b<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|
    b<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>+\<mu\><det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|c<rsub|i,1>>|<cell|c<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|
    c<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>>>>>
  </eqnarray*>

  <\proposition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#4E2D\>\<#6709\>\<#4E24\>\<#884C\>\<#76F8\>\<#540C\>(\<#5404\>\<#5217\>\<#4E0B\>\<#6807\>\<#5904\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#90FD\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#76F8\>\<#540C\>)\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#4E3A\>\<#96F6\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#8BBE\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#4E2D\>\<#7B2C\> <math|i>
    \<#884C\>\<#548C\>\<#7B2C\> <math|j> \<#5217\>\<#5B8C\>\<#5168\>\<#76F8\>\<#540C\>(<math|a<rsub|i,k>=a<rsub|j,k>>\<#5BF9\>\<#6240\>\<#6709\>
    <math|k=1,2,\<ldots\>,n> \<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>)\<#FF0C\>\<#8003\>\<#8651\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#9879\>

    <\equation*>
      <around*|(|-1|)><rsup|\<tau\><around*|(|k<rsub|1>,\<ldots\>k<rsub|i>,\<ldots\>k<rsub|j>,\<ldots\>,k<rsub|n>|)>>a<rsub|1,k<rsub|1>>\<cdots\>a<rsub|i,k<rsub|i>>\<cdots\>a<rsub|j,k<rsub|j>>\<cdots\>a<rsub|n,k<rsub|n>>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#4E8E\>\<#6392\>\<#5217\>
    <math|<around*|(|k<rsub|1>,\<ldots\>k<rsub|i>,\<ldots\>k<rsub|j>,\<ldots\>,k<rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#4E5F\>\<#6709\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#4E8E\>\<#6392\>\<#5217\>
    <math|<around*|(|k<rsub|1>,\<ldots\>k<rsub|j>,\<ldots\>k<rsub|i>,\<ldots\>,k<rsub|n>|)>>
    \<#7684\>\<#9879\>

    <\equation*>
      <around*|(|-1|)><rsup|\<tau\><around*|(|k<rsub|1>,\<ldots\>k<rsub|j>,\<ldots\>k<rsub|i>,\<ldots\>,k<rsub|n>|)>>a<rsub|1,k<rsub|1>>\<cdots\>a<rsub|i,k<rsub|j>>\<cdots\>a<rsub|j,k<rsub|i>>\<cdots\>a<rsub|n,k<rsub|n>>
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6392\>\<#5217\>\<#53EA\>\<#76F8\>\<#5DEE\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5BF9\>\<#6362\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#9879\>\<#4E92\>\<#4E3A\>\<#76F8\>\<#53CD\>\<#6570\>.\<#5982\>\<#6B64\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#9879\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5206\>\<#4E3A\>\<#591A\>\<#7EC4\>\<#4E92\>\<#4E3A\>\<#76F8\>\<#53CD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#9879\>\<#5BF9\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5176\>\<#548C\>\<#4E3A\>\<#96F6\>.
  </proof>

  <\proposition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#6709\>\<#4E24\>\<#884C\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#500D\>\<#6570\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5176\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#4E3A\>\<#96F6\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#6709\>

    <\equation*>
      <det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|i,1>>|<cell|a<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|k
      a<rsub|i,1>>|<cell|k a<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|k
      a<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>=k<det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|i,1>>|<cell|a<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|i,1>>|<cell|a<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>=0
    </equation*>

    <\equation*>
      \;
    </equation*>
  </proof>

  <\proposition>
    \<#628A\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#884C\>\<#7684\>\<#500D\>\<#6570\>\<#52A0\>\<#5230\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#884C\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#5F97\>\<#65B0\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#4E0E\>\<#539F\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#76F8\>\<#7B49\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \;

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|<det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|i,1>+k
      a<rsub|j,1>>|<cell|a<rsub|i,2>+k a<rsub|j,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|i,n>+k
      a<rsub|j,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|j,1>>|<cell|a<rsub|j,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|j,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|i,1>>|<cell|a<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|j,1>>|<cell|a<rsub|j,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|j,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>+k<det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|j,1>>|<cell|a<rsub|j,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|j,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|j,1>>|<cell|a<rsub|j,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|j,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<det|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|i,1>>|<cell|a<rsub|i,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|i,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|j,1>>|<cell|a<rsub|j,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|j,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>>>>>
    </eqnarray*>

    \;
  </proof>

  <\subsection>
    \<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#6309\>\<#4E00\>\<#884C\>(\<#5217\>)\<#5C55\>\<#5F00\>
  </subsection>

  <math|n> \<#9636\>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#5F0F\>

  <math|<\text>
    <\equation*>
      <around*|\||<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>>|<cell|a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|n,1>>|<cell|a<rsub|n,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|n,n>>>>>>|\|>=<big|sum><rsub|<around*|(|j<rsub|1>,j<rsub|2>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>><around*|(|-1|)><rsup|\<tau\><around*|(|j<rsub|1>,j<rsub|2>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>a<rsub|1,j<rsub|1>>a<rsub|2,j<rsub|2>>\<cdots\>a<rsub|n,j<rsub|n>>
    </equation*>
  </text>>

  \<#53F3\>\<#8FB9\>\<#7684\>\<#6C42\>\<#548C\>\<#662F\>\<#9488\>\<#5BF9\>
  <math|<around*|(|1,2,\<ldots\>,n|)>> \<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#6392\>\<#5217\>
  <math|<around*|(|j<rsub|1>,j<rsub|2>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>
  \<#8FDB\>\<#884C\>\<#904D\>\<#5386\>.

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#56FA\>\<#5B9A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#884C\>\<#4E0B\>\<#6807\>
  <math|i>\<#FF0C\>\<#53F3\>\<#8FB9\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#90FD\>\<#542B\>\<#6709\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#4E2D\>\<#7B2C\>
  <math|i> \<#884C\>\<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\>
  <math|a<rsub|i,j<rsub|i>>>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#56E0\>\<#5B50\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#5176\>\<#5B83\>\<#56E0\>\<#5B50\>\<#90FD\>\<#6765\>\<#81EA\>\<#4E8E\>\<#5176\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#884C\>\<#FF0C\>\<#628A\>\<#4ECE\>\<#7B2C\>
  <math|i> \<#884C\>\<#4E2D\>\<#53D6\>\<#5230\>(\<#56FA\>\<#5B9A\>\<#7684\>)\<#7B2C\>
  <math|k> \<#5217\> \<#5143\>\<#7D20\> <math|a<rsub|i,k>>
  \<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#56E0\>\<#5B50\>\<#7684\>\<#90A3\>\<#4E9B\>\<#9879\>(\<#5373\>
  <math|j<rsub|i>=k> \<#7684\>\<#9879\>)\<#5F52\>\<#5E76\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#8D77\>\<#4E3A\>

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|<big|sum><rsub|<around*|(|j<rsub|1>,\<ldots\>,j<rsub|i-1>,k,j<rsub|i+1>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>><around*|(|-1|)><rsup|\<tau\><around*|(|j<rsub|1>,\<ldots\>,j<rsub|i-1>,k,j<rsub|i+1>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>a<rsub|1,j<rsub|1>\<cdots\>>a<rsub|i-1,j<rsub|i-1>>a<rsub|i,k>a<rsub|i+1,j<rsub|i+1>>\<cdots\>a<rsub|n,j<rsub|n>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|a<rsub|i,k><big|sum><rsub|<around*|(|j<rsub|1>,\<ldots\>,j<rsub|i-1>,k,j<rsub|i+1>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>><around*|(|-1|)><rsup|\<tau\><around*|(|j<rsub|1>,\<ldots\>,j<rsub|i-1>,k,j<rsub|i+1>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>a<rsub|1,j<rsub|1>\<cdots\>>a<rsub|i-1,j<rsub|i-1>>a<rsub|i+1,j<rsub|i+1>>\<cdots\>a<rsub|n,j<rsub|n>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|-1|)><rsup|i+k>a<rsub|i,k><big|sum><rsub|<around*|(|j<rsub|1>,\<ldots\>,j<rsub|i-1>,j<rsub|i+1>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>><around*|(|-1|)><rsup|\<tau\><around*|(|j<rsub|1>,\<ldots\>,j<rsub|i-1>,k,j<rsub|i+1>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>a<rsub|1,j<rsub|1>\<cdots\>>a<rsub|i-1,j<rsub|i-1>>a<rsub|i+1,j<rsub|i+1>>\<cdots\>a<rsub|n,j<rsub|n>>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|-1|)><rsup|i+k>a<rsub|i,k>B<rsub|i,k>>>>>
  </eqnarray*>

  \<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#662F\>\<#63D0\>\<#51FA\>
  <math|a<rsub|i,k>> \<#516C\>\<#56E0\>\<#5B50\>\<#FF0C\>\<#6700\>\<#540E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#662F\>\<#4E3A\>\<#4E86\>\<#7B80\>\<#5316\>\<#7BC7\>\<#5E45\>\<#5C06\>\<#6C42\>\<#548C\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#7528\>
  <math|B<rsub|i,k>> \<#6307\>\<#4EE3\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#4E0B\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#FF0C\>\<#6392\>\<#5217\>
  <math|<around*|(|j<rsub|1>,\<ldots\>,j<rsub|i-1>,k,j<rsub|i+1>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>
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  <math|<around*|(|j<rsub|1>,\<ldots\>,j<rsub|i-1>,j<rsub|i+1>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>
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  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|\<tau\><around*|(|j<rsub|1>,\<ldots\>,j<rsub|i-1>,k,j<rsub|i+1>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|-1|)><rsup|<around*|(|i-1|)>+<around*|(|k-1|)>>\<tau\><around*|(|j<rsub|1>,\<ldots\>,j<rsub|i-1>,j<rsub|i+1>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|-1|)><rsup|i+k>\<tau\><around*|(|j<rsub|1>,\<ldots\>,j<rsub|i-1>,j<rsub|i+1>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>>>>
  </eqnarray*>

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  <math|k=1,2,\<ldots\>,n> \<#8FDB\>\<#884C\>\<#6C42\>\<#548C\>

  <\equation*>
    <around*|\||A|\|>=<around*|(|-1|)><rsup|i+1>a<rsub|i,1>B<rsub|i,1>+<around*|(|-1|)><rsup|i+2>a<rsub|i,2>B<rsub|i,2>+\<cdots\>+<around*|(|-1|)><rsup|i+n>a<rsub|i,n>B<rsub|i,n>=<big|sum><rsub|k=1><rsup|n><around*|(|-1|)><rsup|i+k>a<rsub|i,k>B<rsub|i,k>
  </equation*>

  \<#5176\>\<#4E2D\>

  <\equation*>
    B<rsub|i,k>=<big|sum><rsub|<around*|(|j<rsub|1>,\<ldots\>,j<rsub|i-1>,j<rsub|i+1>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>><around*|(|-1|)><rsup|\<tau\><around*|(|j<rsub|1>,\<ldots\>,j<rsub|i-1>,j<rsub|i+1>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>a<rsub|1,j<rsub|1>\<cdots\>>a<rsub|i-1,j<rsub|i-1>>a<rsub|i+1,j<rsub|i+1>>\<cdots\>a<rsub|n,j<rsub|n>>
  </equation*>

  \<#5B83\>\<#662F\>\<#904D\>\<#5386\>\<#6240\>\<#6709\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#6392\>\<#5217\>
  <math|<around*|(|j<rsub|1>,\<ldots\>,j<rsub|i-1>,j<rsub|i+1>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>
  \<#8FDB\>\<#884C\>\<#6C42\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#800C\>
  <math|<around*|(|j<rsub|1>,\<ldots\>,j<rsub|i-1>,j<rsub|i+1>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>
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  \<#7684\>\<#6392\>\<#5217\>.

  \<#4ED4\>\<#7EC6\>\<#89C2\>\<#5BDF\> <math|B<rsub|i,k>>
  \<#7684\>\<#5C55\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#9879\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#6765\>\<#81EA\>\<#4E8E\>\<#539F\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#4E2D\>\<#9664\>\<#4E86\>\<#7B2C\>
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  \<#5217\>\<#4EE5\>\<#5916\>\<#7684\>\<#884C\>\<#548C\>\<#5217\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#904D\>\<#5386\>\<#4E86\>\<#6240\>\<#6709\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#7684\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#7531\>\<#6392\>\<#5217\>
  <math|<around*|(|j<rsub|1>,\<ldots\>,j<rsub|i-1>,j<rsub|i+1>,\<ldots\>,j<rsub|n>|)>>
  (\<#53BB\>\<#6389\>\<#4E86\> <math|j<rsub|i>=k>)\<#7684\>\<#5947\>\<#5076\>\<#6027\>\<#51B3\>\<#5B9A\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#4ECE\>\<#539F\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#4E2D\>\<#5212\>\<#53BB\>\<#7B2C\>
  <math|i> \<#884C\>\<#548C\>\<#7B2C\> <math|k>
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  <\equation*>
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  <math|n-1> \<#9636\>\<#65B9\>\<#9635\>\<#FF0C\>\<#5E76\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#5176\>\<#4E3A\>
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  <math|j> \<#5217\>\<#5C55\>\<#5F00\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#679C\>

  <\equation*>
    <around*|\||A|\|>=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n><around*|(|-1|)><rsup|i+j>a<rsub|i,k><around*|\||A<rsub|i,j>|\|>
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  \;

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    \;
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  <subsection|Laplace\<#5B9A\>\<#7406\>>

  <section|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>>

  <subsection|Cramer\<#6CD5\>\<#5219\>>

  \;

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  \;

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  \;

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  <\definition>
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    \<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#79CD\><underline|\<#8DDD\>\<#79BB\>>(\<#4EE5\>\<#4E0B\>
    <math|x,y\<in\>X>):

    <\enumerate-numeric>
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      <item>\<#5BF9\>\<#79F0\>\<#6027\>: <math|d<around*|(|x,y|)>=d<around*|(|y,x|)>>

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      <math|d<around*|(|x,y|)>\<leqslant\>d<around*|(|x,z|)>+d<around*|(|z,y|)>>
    </enumerate-numeric>
  </definition>

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  <math|d<around*|(|x,y|)>\<leqslant\>d<around*|(|x,z|)>+d<around*|(|y,z|)>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5BF9\>\<#79F0\>\<#6027\>\<#7684\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#5C31\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7531\>\<#5176\>\<#5B83\>\<#4E24\>\<#6761\>\<#5F97\>\<#51FA\>:

  <\equation*>
    d<around*|(|x,y|)>\<leqslant\>d<around*|(|x,x|)>+d<around*|(|y,x|)>=d<around*|(|y,x|)>
  </equation*>

  \<#7531\> <math|x,y> \<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#8FD8\>\<#6709\>
  <math|d<around*|(|x,y|)>\<geqslant\>d<around*|(|y,x|)>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#53EA\>\<#80FD\>
  <math|d<around*|(|x,y|)>=d<around*|(|y,x|)>>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#79F0\>\<#6027\>\<#6210\>\<#7ACB\>.\ 

  \;

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|X> \<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#975E\>\<#7A7A\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#95F4\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E86\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#8DDD\>\<#79BB\>\<#8FD0\>\<#7B97\>
    <math|d<around*|(|x,y|)>>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#4E8C\>\<#5143\>\<#7EC4\>
    <math|<around*|(|X,d|)>> \<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\><underline|\<#5EA6\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>>.
  </definition>

  <\example>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\> <math|F<rsup|n>>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-x\>=<around*|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>>
    \<#53CA\> <math|\<b-y\>=<around*|(|y<rsub|1>,y<rsub|2>,\<ldots\>,y<rsub|n>|)>>
    \<#4E4B\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#51E0\>\<#79CD\>\<#8DDD\>\<#79BB\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|d<rsub|1><around*|(|x,y|)>>|<cell|=>|<cell|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n><around*|\||x<rsub|i>-y<rsub|i>|\|>>>|<row|<cell|d<rsub|2><around*|(|x,y|)>>|<cell|=>|<cell|<sqrt|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n><around*|(|x<rsub|i>-y<rsub|i>|)><rsup|2>>>>|<row|<cell|d<rsub|3><around*|(|x,y|)>>|<cell|=>|<cell|max<around*|(|<around*|\||x<rsub|i>-y<rsub|i>|\|>|)>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#8FD9\>\<#51E0\>\<#4E2A\>\<#90FD\>\<#7B26\>\<#5408\>\<#8DDD\>\<#79BB\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>
    <math|<around*|(|X,d<rsub|i>|)>> \<#90FD\>\<#662F\>\<#5EA6\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.
  </example>

  <\example>
    \<#8BBE\> <math|X> \<#4E3A\>\<#4E00\>\<#975E\>\<#7A7A\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>

    <\equation*>
      d<around*|(|x,y|)>=<around*|{|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|0>|<cell|x=y>>|<row|<cell|1>|<cell|x\<neq\>y>>>>>|\<nobracket\>>
    </equation*>

    \<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9A8C\>\<#8BC1\> <math|d<around*|(|x,y|)>>\<#7B26\>\<#5408\>\<#8DDD\>\<#79BB\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>
    <math|<around*|(|X,d|)>> \<#662F\>\<#5EA6\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.\ 
  </example>

  <\example>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\> <math|<around*|[|a,b|]>>
    \<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|d<rsub|1><around*|(|x,y|)>>|<cell|=>|<cell|sup<rsub|x\<in\><around*|[|a,b|]>><around*|\||f<around*|(|x|)>-g<around*|(|x|)>|\|>>>|<row|<cell|d<rsub|2><around*|(|x,y|)>>|<cell|=>|<cell|<big|int><rsub|a><rsup|b><around*|\||f<around*|(|x|)>-g<around*|(|x|)>|\|>d
      x>>>>
    </eqnarray*>

    \<#5B83\>\<#4EEC\>\<#90FD\>\<#7B26\>\<#5408\>\<#8DDD\>\<#79BB\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|<around*|(|X,d<rsub|i>|)>> \<#90FD\>\<#662F\>\<#5EA6\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.
  </example>

  <section|\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>>

  <subsection|\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>>

  \<#7528\>\<#7B26\>\<#53F7\> <math|F> \<#6307\>\<#4EE3\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#96C6\>
  <math|R> \<#6216\>\<#590D\>\<#6570\>\<#96C6\>
  <math|C>\<#FF0C\>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#6807\>\<#91CF\>(\<#4EE5\>\<#533A\>\<#522B\>\<#4E8E\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>).

  <\definition>
    (\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>)

    <\itemize-dot>
      <item>\<#96C6\>\<#5408\> <math|V> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
      <math|V> \<#4E2D\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#5BF9\>
      <math|\<b-u\>,\<b-v\>\<in\>V>\<#FF0C\>\<#80FD\>\<#5728\> <math|V>
      \<#4E2D\>\<#627E\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#4E0E\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#5BF9\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
      <math|\<b-u\>+\<b-v\>>.

      <item>\<#96C6\>\<#5408\> <math|V> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>
      <math|\<lambda\>\<in\>F> \<#4E0E\> <math|\<b-u\>\<in\>V>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5728\>
      <math|V> \<#4E2D\>\<#627E\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#4E0E\>\<#4E4B\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
      <math|\<lambda\>\<b-u\>>.
    </itemize-dot>
  </definition>

  \<#53D7\>\<#51E0\>\<#4F55\>\<#610F\>\<#4E49\>\<#4E0A\>\<#4E8C\>\<#7EF4\>\<#548C\>\<#4E09\>\<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#542F\>\<#53D1\>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#62BD\>\<#8C61\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#5982\>\<#4E0B\>:

  <\definition>
    (\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>)\<#5982\>\<#679C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#96C6\>\<#5408\>
    <math|V> \<#4E0E\>\<#5176\>\<#4E0A\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#5404\>\<#4E2A\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#96C6\>\<#5408\>
    <math|V> \<#4E0E\>\<#5176\>\<#4E0A\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#4E00\>\<#8D77\>\<#6784\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>(F\<#4E0A\>\<#7684\>)\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>:

    <\itemize-dot>
      <item>(\<#4EA4\>\<#6362\>\<#5F8B\>) \<#4EFB\>\<#610F\>
      <math|\<b-u\>,\<b-v\>\<in\>V>\<#FF0C\>\<#6210\>\<#7ACB\>
      <math|\<b-u\>+\<b-v\>=\<b-v\>+\<b-u\>>.

      <item>(\<#7ED3\>\<#5408\>\<#5F8B\>) \<#4EFB\>\<#610F\>
      <math|\<b-u\>,\<b-v\>,\<b-w\>\<in\>V>\<#FF0C\>\<#4EFB\>\<#610F\>
      <math|\<lambda\>,\<mu\>\<in\>F>\<#FF0C\>\<#6210\>\<#7ACB\>
      <math|<around*|(|\<b-u\>+\<b-v\>|)>+\<b-w\>=\<b-u\>+<around*|(|\<b-v\>+\<b-w\>|)>>,
      <math|<around*|(|\<lambda\>\<mu\>|)>\<b-v\>=\<lambda\><around*|(|\<mu\>\<b-v\>|)>>.

      <item>(\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>)
      \<#5B58\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
      <math|<embold|0>\<in\>V>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>
      <math|\<b-u\>\<in\>V>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#6709\>
      <math|<embold|0>+\<b-u\>=\<b-u\>>.

      <item>(\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#9006\>\<#5143\>) \<#4EFB\>\<#610F\>
      <math|\<b-u\>\<in\>V>\<#FF0C\>\<#5B58\>\<#5728\>
      <math|\<b-v\>\<in\>V>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
      <math|\<b-u\>+\<b-v\>=\<b-0\>>.

      <item>(\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>)
      \<#4EFB\>\<#610F\> <math|\<b-v\>\<in\>V>\<#FF0C\>\<#6709\>
      <math|1\<b-v\>=\<b-v\>>.

      <item>(\<#5206\>\<#914D\>\<#5F8B\>) \<#4EFB\>\<#610F\>
      <math|\<b-u\>,\<b-v\>\<in\>V> \<#53CA\>\<#4EFB\>\<#610F\>
      <math|\<lambda\>,\<mu\>\<in\>F>\<#FF0C\>\<#6210\>\<#7ACB\>
      <math|\<lambda\><around*|(|\<b-u\>+\<b-v\>|)>=\<lambda\>\<b-u\>+\<lambda\>\<b-v\>>
      \<#53CA\> <math|<around*|(|\<lambda\>+\<mu\>|)>\<b-v\>=\<lambda\>\<b-v\>+\<mu\>\<b-v\>>.
    </itemize-dot>
  </definition>

  \<#6CE8\>\<#610F\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#662F\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#5177\>\<#4F53\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#7B26\>\<#5408\>\<#4E0A\>\<#9762\>\<#7684\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#5C31\>\<#884C\>.

  \<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#8FD8\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#540D\>\<#79F0\>\<#53EB\>\<#505A\><underline|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7A7A\>\<#95F4\>>\<#FF0C\>\<#672C\>\<#4E66\>\<#4E2D\>\<#91C7\>\<#7528\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#540D\>\<#79F0\>.

  <\example>
    \<#7531\>\<#6B21\>\<#6570\>\<#4E0D\>\<#8D85\>\<#8FC7\> <math|n>
    \<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#590D\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#7EC4\>\<#6210\>\<#7684\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#590D\>\<#6570\>\<#4E58\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.
    \<#8BBE\> <math|x> \<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#672A\>\<#77E5\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#5728\>
    <math|F> \<#4E2D\>\<#7684\>\<#5173\>\<#4E8E\> <math|x>
    \<#4E14\>\<#6B21\>\<#6570\>\<#4E0D\>\<#8D85\>\<#8FC7\>\<#56FA\>\<#5B9A\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>
    <math|n> \<#7684\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#96C6\>\<#5408\>

    <\equation*>
      P<rsub|n>=<around*|{|a<rsub|0>+a<rsub|1>x+\<cdots\>+a<rsub|n>x<rsup|n><around*|\||a<rsub|i>\<in\>F,i=0,1,\<ldots\>n|\<nobracket\>>|}>
    </equation*>

    \<#5728\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#6570\>\<#4E58\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#4E0B\>\<#4E5F\>\<#6784\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#96F6\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#6B63\>\<#8D1F\>\<#53F7\>\<#4E4B\>\<#540E\>\<#7684\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#9006\>\<#5143\>\<#3002\>\<#4E8B\>\<#5B9E\>\<#4E0A\>\<#FF0C\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#770B\>\<#51FA\>\<#5B83\>\<#4E0E\>
    <math|F<rsup|n>> \<#662F\>\<#5B8C\>\<#5168\>\<#540C\>\<#6784\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4ECE\>
    <math|P<rsub|n>> \<#5230\> <math|F<rsup|n>>
    \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E00\>\<#6620\>\<#5C04\>.
  </example>

  <\example>
    \<#8BB0\> <math|F<rsup|n>=<around*|{|<around*|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)><around*|\||x<rsub|i>\<in\>F,i=1,2,\<ldots\>,n|\<nobracket\>>|}>>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-x\>=<around*|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>>
    \<#53CA\> <math|\<b-y\>=<around*|(|y<rsub|1>,y<rsub|2>,\<ldots\>,y<rsub|n>|)>>\<#4EE5\>\<#53CA\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#7684\>
    <math|\<lambda\>\<in\>F>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#5982\>\<#4E0B\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|\<b-x\>+\<b-y\>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|x<rsub|1>+y<rsub|1>,x<rsub|2>+y<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>+y<rsub|n>|)>>>|<row|<cell|\<lambda\>\<b-x\>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|\<lambda\>x<rsub|1>,\<lambda\>x<rsub|2>,\<ldots\>,\<lambda\>x<rsub|n>|)>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#5BB9\>\<#6613\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#548C\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#4E0B\>\<#FF0C\><math|F<rsup|n>>
    \<#6784\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\><name|<math|\<b-0\>=<around*|(|0,0,\<ldots\>,0|)>>>
    \<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>\<#FF0C\><math|\<b-x\>=<around*|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>>
    \<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#9006\>\<#5143\>\<#662F\>
    <math|<around*|(|-x<rsub|1>,-x<rsub|2>,\<ldots\>,-x<rsub|n>|)>>.
  </example>

  <\example>
    \<#8BB0\> <math|F<rsup|\<infty\>>> \<#662F\>\<#9879\>\<#5728\> <math|F>
    \<#4E2D\>\<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#65E0\>\<#7A77\>\<#6570\>\<#5217\>\<#7684\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      F<rsup|n>=<around*|{|<around*|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>,\<ldots\>|)><around*|\||x<rsub|i>\<in\>F,i=1,2,\<ldots\>|\<nobracket\>>|}>
    </equation*>

    \<#5219\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#4F9D\>\<#7167\> <math|F<rsup|n>>
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    <math|F<rsup|\<infty\>>> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<around*|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>|)>+<around*|(|y<rsub|1>,y<rsub|2>,\<ldots\>|)>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|x<rsub|1>+y<rsub|1>,x<rsub|2>+y<rsub|2>,\<ldots\>|)>>>|<row|<cell|\<lambda\><around*|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>|)>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|\<lambda\>x<rsub|1>,\<lambda\>x<rsub|2>,\<ldots\>|)>>>>>
    </eqnarray*>

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  </example>

  <\example>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#96C6\>\<#5408\>
    <math|S>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7531\> <math|S> \<#5230\> <math|F>
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    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|<around*|(|f+g|)><around*|(|x|)>>|<cell|=>|<cell|f<around*|(|x|)>+g<around*|(|x|)>>>|<row|<cell|<around*|(|\<lambda\>f|)><around*|(|x|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>f<around*|(|x|)>>>>>
    </eqnarray*>

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    <math|F> \<#4E2D\>\<#7684\>\<#6570\> <math|0>
    \<#7684\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>\<#FF0C\>\<#628A\>
    <math|S> \<#4E2D\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#5230\> <math|F>
    \<#4E2D\>\<#4E00\>\<#5BF9\>\<#76F8\>\<#53CD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#4E92\>\<#4E3A\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#9006\>\<#5143\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4F59\>\<#6CD5\>\<#5219\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#7684\>.

    \<#524D\>\<#9762\>\<#63D0\>\<#5230\>\<#7684\> <math|F<rsup|n>> \<#53CA\>
    <math|F<rsup|\<infty\>>> \<#5B9E\>\<#8D28\>\<#4E0A\>\<#662F\>
    <math|F<rsup|S>> \<#7684\>\<#7279\>\<#6B8A\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|F<rsup|n>> \<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\><math|S=<around*|{|1,2,\<ldots\>,n|}>>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|F<rsup|\<infty\>>> \<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\><math|S>
    \<#5C31\>\<#662F\>\<#6B63\>\<#6574\>\<#6570\>\<#96C6\> <math|R<rsup|+>>.
  </example>

  <\example>
    \<#6240\>\<#6709\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#5728\>\<#6570\>\<#57DF\> <math|F>
    \<#4E2D\>\<#53D6\>\<#503C\>\<#7684\> <math|n\<times\>m>
    \<#77E9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#5747\>\<#4E3A\>
    0 \<#7684\>\<#96F6\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#4E3A\>\<#5176\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>.
  </example>

  <\definition>
    \<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#6216\>\<#70B9\>.
  </definition>

  \<#5411\>\<#91CF\>\<#6216\>\<#8005\>\<#70B9\>\<#90FD\>\<#4E00\>\<#5F8B\>\<#7528\>\<#7C97\>\<#4F53\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#8868\>\<#793A\>.

  <\definition>
    <math|R> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#5B9E\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.
    <math|C> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#590D\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.
  </definition>

  <\proposition>
    \<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>\<#662F\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#7684\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#52A0\>\<#6CD5\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>\<#7684\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6027\>\<#662F\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E2D\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#82E5\>\<#6709\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>
    <math|\<b-0\><rsub|1>> \<#548C\> <math|\<b-0\><rsub|2>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#4F9D\>\<#5355\>\<#5143\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#6709\>

    <\equation*>
      \<b-0\><rsub|2>=\<b-0\><rsub|1>+\<b-0\><rsub|2>=\<b-0\><rsub|2>+\<b-0\><rsub|1>=\<b-0\><rsub|1>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#552F\>\<#4E00\>.\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>
  </proof>

  <\proposition>
    \<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#9006\>\<#5143\>\<#662F\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#7684\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#9006\>\<#5143\>\<#7684\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6027\>\<#540C\>\<#6837\>\<#662F\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#6240\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#53EA\>\<#8BC1\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-u\>> \<#5B58\>\<#5728\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#9006\>\<#5143\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>> \<#548C\> <math|\<b-v\><rsub|2>>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7740\>
    <math|\<b-u\>+\<b-v\><rsub|1>=\<b-0\>> \<#53CA\>
    <math|\<b-u\>+\<b-v\><rsub|2>=\<b-0\>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6709\>\ 

    <\equation*>
      \<b-v\><rsub|1>=\<b-v\><rsub|1>+\<b-0\>=\<b-v\><rsub|1>+<around*|(|\<b-u\>+\<b-v\><rsub|2>|)>=<around*|(|\<b-v\><rsub|1>+\<b-u\>|)>+\<b-v\><rsub|2>=\<b-0\>+\<b-v\><rsub|2>=\<b-v\><rsub|2>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\> <math|\<b-u\>> \<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#9006\>\<#5143\>\<#662F\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#7684\>.
  </proof>

  <\notation>
    \<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <strong|u> \<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#9006\>\<#5143\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|-\<b-u\>>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#51CF\>\<#6CD5\>\<#4E3A\>
    <math|\<b-u\>-\<b-v\>=\<b-u\>+<around*|(|-\<b-v\>|)>>.
  </notation>

  <\proposition>
    \ \<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\> <math|\<b-v\>\<in\>V>\<#FF0C\>\<#6709\>
    <math|0\<b-v\>=\<b-0\>>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#6709\>

    <\equation*>
      0\<b-v\>+\<b-v\>=<around*|(|0+1|)>\<b-v\>=1\<b-v\>=\<b-v\>
    </equation*>

    \<#5373\> <math|0\<b-v\>+\<b-v\>=\<b-v\>> \<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|\<b-v\>\<in\>V> \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#4E24\>\<#8FB9\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#52A0\>\<#4E0A\>
    <math|\<b-v\>> \<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#9006\>\<#5143\>
    <math|-\<b-v\>>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5F97\>\ 

    <\equation*>
      0\<b-v\>+\<b-v\>+<around*|(|-\<b-v\>|)>=\<b-v\>+<around*|(|-\<b-v\>|)>
    </equation*>

    \<#53F3\>\<#8FB9\>\<#663E\>\<#7136\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>
    <strong|0>, \<#5DE6\>\<#8FB9\>\<#6839\>\<#636E\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#7ED3\>\<#5408\>\<#5F8B\>\<#FF0C\>\<#540E\>\<#4E24\>\<#8005\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5148\>\<#52A0\>\<#8D77\>\<#6765\>\<#6210\>\<#4E3A\>
    <strong|0>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5373\>\<#5F97\>
    <math|0\<b-v\>=\<b-0\>>.
  </proof>

  <\proposition>
    \<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\> <math|\<lambda\>\<in\>F>\<#FF0C\>\<#6210\>\<#7ACB\>
    <math|\<lambda\>\<b-0\>=\<b-0\>>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#6709\>

    <\equation*>
      \<lambda\>\<b-0\>=\<lambda\><around*|(|\<b-0\>+\<b-0\>|)>=\<lambda\>\<b-0\>+\<lambda\>\<b-0\>
    </equation*>

    \<#4E24\>\<#8FB9\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#52A0\>\<#4E0A\>
    <math|\<lambda\>\<b-0\>> \<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#9006\>\<#5143\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5F97\>
    <math|\<lambda\>\<b-0\>=\<b-0\>>.
  </proof>

  <\proposition>
    \<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\> <math|\<b-v\>\<in\>V>\<#FF0C\>\<#6709\>
    <math|<around*|(|-1|)>\<b-v\>=-\<b-v\>.>
  </proposition>

  <\proof>
    \<#7531\> <math|\<b-v\>+<around*|(|-1|)>\<b-v\>=1\<b-v\>+<around*|(|-1|)>\<b-v\>=<around*|[|1+<around*|(|-1|)>|]>\<b-v\>>=0<math|\<b-v\>=\<b-0\>>
    \<#77E5\> <math|<around*|(|-1|)>><math|\<b-v\>=-\<b-v\>>.
  </proof>

  <subsection|\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|V> \<#662F\>\<#6570\>\<#57DF\> <math|F>
    \<#4E0A\>\<#7684\> \<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>(\<#81EA\>\<#7136\>\<#5C31\>\<#6709\>\<#5176\>\<#4E0A\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#548C\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>)\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|V> \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#96C6\> <math|U>
    \<#5728\>\<#540C\>\<#6837\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#548C\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#4E0B\>\<#4E5F\>\<#6784\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>
    <math|U> \<#662F\> <math|V> \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\><underline|\<#5B50\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>>\<#FF0C\>\<#7B80\>\<#79F0\><underline|\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>>.
  </definition>

  <\theorem>
    \<#8BBE\> <math|V> \<#662F\>\<#6570\>\<#57DF\> <math|F>
    \<#4E0A\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5B50\>\<#96C6\>
    <math|U> \<#80FD\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#51E0\>\<#70B9\>:

    <\itemize-dot>
      <item><math|\<b-0\>\<in\>U>

      <item><math|U> \<#5BF9\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#5C01\>\<#95ED\>\<#FF0C\>\<#5373\>
      <math|\<forall\>\<b-u\>,\<b-v\>\<in\>U>\<#FF0C\>\<#6709\>
      <math|\<b-u\>+\<b-v\>\<in\>U>

      <item><math|U> \<#5BF9\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#5C01\>\<#95ED\>\<#FF0C\>\<#5373\>
      <math|\<forall\>\<lambda\>\<in\>F,\<b-u\>\<in\>U>\<#FF0C\>\<#6709\>
      <math|\<lambda\>\<b-u\>\<in\>U>
    </itemize-dot>
  </theorem>

  <\proof>
    \<#5FC5\>\<#8981\>\<#6027\>\<#662F\>\<#663E\>\<#7136\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>
    <math|U> \<#6210\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#57FA\>\<#672C\>\<#8981\>\<#6C42\>.

    \<#5145\>\<#5206\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#82E5\> <math|V>
    \<#7684\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#5B50\>\<#96C6\> <math|U>
    \<#540C\>\<#65F6\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#9996\>\<#5148\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#8FD9\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#5C31\>\<#662F\>
    <math|V> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#8FD9\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#5728\>
    <math|U> \<#4E0A\>\<#4E5F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#4EA4\>\<#6362\>\<#5F8B\>\<#548C\>\<#7ED3\>\<#5408\>\<#5F8B\>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <strong|0> \<#5BF9\>\<#4E8E\> <math|U>
    \<#4E2D\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5143\>\<#7D20\> <math|\<b-u\>>
    \<#4ECD\>\<#7136\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7740\>
    <math|\<b-0\>+\<b-u\>=\<b-u\>>\<#FF0C\>\<#53C8\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|\<b-u\>\<in\>U>\<#FF0C\> <math|<around*|(|-1|)>\<b-u\>\<in\>U>
    \<#4FBF\>\<#662F\>\<#5176\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#9006\>\<#5143\>.
    \<#5BF9\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#6709\>
    <math|1\<b-u\>=\<b-u\>> \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>
    <math|\<b-u\>\<in\>U> \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#5408\>\<#5F8B\>\<#FF0C\>
    <math|<around*|(|\<lambda\>\<mu\>|)>\<b-u\>=\<lambda\><around*|(|\<mu\>\<b-u\>|)>>
    \<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\> <math|\<lambda\>,\<mu\>\<in\>F>
    \<#53CA\>\<#4EFB\>\<#610F\> <math|\<b-u\>\<in\>U>
    \<#4ECD\>\<#7136\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#6700\>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#548C\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5206\>\<#914D\>\<#5F8B\>\<#4E5F\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#6210\>\<#7ACB\>:
    \<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\> <math|\<lambda\>,\<mu\>\<in\>U>
    \<#53CA\>\<#4EFB\>\<#610F\> <math|\<b-u\>,\<b-v\>\<in\>U>\<#FF0C\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7740\>
    <math|<around*|(|\<lambda\>+\<mu\>|)>\<b-u\>=\<lambda\>\<b-u\>+\<mu\>\<b-u\>>
    \<#53CA\> <math|\<lambda\><around*|(|\<b-u\>+\<b-v\>|)>=\<lambda\>\<b-u\>+\<lambda\>\<b-v\>>.
    \<#4E8E\>\<#662F\> <math|U> \<#5728\>\<#540C\>\<#6837\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#4E0B\>\<#4E5F\>\<#6784\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.
  </proof>

  \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#7ED9\>\<#51FA\>\<#4E86\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#5B50\>\<#96C6\>\<#662F\>\<#5426\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#6784\>\<#6210\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#4FBF\>\<#7684\>\<#68C0\>\<#9A8C\>\<#89C4\>\<#5219\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5B9A\>\<#7406\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#4E5F\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E0D\>\<#80FD\>\<#662F\>\<#7A7A\>\<#96C6\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#81F3\>\<#5C11\>\<#8981\>\<#5305\>\<#542B\>
  <strong|0>.

  <\example>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|F<rsup|3>>
    \<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#51E0\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#96C6\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>:

    <\itemize-dot>
      <item><math|U<rsub|1>=<around*|{|<around*|(|x,0,0|)><around*|\||x\<in\>F|\<nobracket\>>|}>>

      <item><math|U<rsub|2>=<around*|{|<around*|(|x,y,0|)><around*|\||x,y\<in\>F|\<nobracket\>>|}>>\ 

      <item><math|U<rsub|3>=<around*|{|<around*|(|x,y,z|)><around*|\||x,y,z\<in\>F,x+y+z=50|\<nobracket\>>|}>>

      <item><math|U<rsub|3>=<around*|{|<around*|(|x,y,z|)><around*|\||x,y,z\<in\>F,2x+y-7z=0\<wedge\>x-y-z=0|\<nobracket\>>|}>>
    </itemize-dot>

    <math|> \ 
  </example>

  <\example>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\> <math|R<rsup|2>> \<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#53EA\>\<#6709\>
    <math|<around*|{|\<b-0\>|}>>\<#FF0C\><math|R<rsup|2>>
    \<#53CA\>\<#6240\>\<#6709\>\<#901A\>\<#8FC7\>\<#539F\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#76F4\>\<#7EBF\>.
    \<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#FF0C\>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#5305\>\<#542B\>
    <math|\<b-0\>=<around*|(|0,0|)>>\<#FF0C\>\<#9664\>\<#6B64\>\<#4E4B\>\<#5916\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B83\>\<#5305\>\<#542B\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#4E8E\>
    <strong|0> \<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\> <math|\<b-u\>>
    \<#7684\>\<#8BDD\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#5305\>\<#542B\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>
    <math|\<lambda\>\<b-u\>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>
    <math|\<lambda\>\<in\>R>\<#FF0C\> \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#901A\>\<#8FC7\>
    <math|\<b-0\>> \<#53CA\> <math|\<b-u\>>
    \<#7684\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B83\>\<#8FD8\>\<#5305\>\<#542B\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B64\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#4EE5\>\<#5916\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-v\>> \<#7684\>\<#8BDD\>(\<#5373\> <math|\<b-v\>>
    \<#4E0D\>\<#80FD\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#6210\> <math|\<lambda\>\<b-u\>>
    \<#7684\>\<#5F62\>\<#5F0F\>)\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B83\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#4E5F\>\<#5305\>\<#542B\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>
    <math|\<mu\>\<b-v\>>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#901A\>\<#8FC7\>
    <math|\<bbb-0\>\<b-0\>> \<#53CA\> <math|\<b-v\>>
    \<#7684\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#5B83\>\<#5BF9\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#5C01\>\<#95ED\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#5FC5\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#5305\>\<#542B\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>
    <math|\<lambda\>\<b-u\>+\<mu\>\<b-v\>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\><math|R<rsup|2>>
    \<#4E2D\>\<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#90FD\>\<#80FD\>\<#88AB\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#6210\>\<#6B64\>\<#79CD\>\<#5F62\>\<#5F0F\>(\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>,\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>\<#5173\>\<#4E8E\>
    <math|\<lambda\>> \<#548C\> <math|\<mu\>>
    \<#7684\>\<#4E8C\>\<#5143\>\<#4E00\>\<#6B21\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#6709\>\<#89E3\>).

    \<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#7684\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#FF0C\><math|R<rsup|3>>
    \<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#662F\>
    <math|\<b-0\>>\<#3001\>\<#8FC7\>\<#539F\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#3001\>\<#8FC7\>\<#539F\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#FF0C\>\<#53CA\>
    <math|R<rsup|3>> \<#81EA\>\<#8EAB\>.
  </example>

  <subsection|\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#548C\>>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|V> \<#662F\>\<#6570\>\<#57DF\> <math|F>
    \<#4E0A\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <math|U<rsub|1>,U<rsub|2>,\<ldots\>,U<rsub|n>>
    \<#90FD\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#8FD9\>\<#51E0\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\><underline|\<#548C\>>\<#662F\>\<#6240\>\<#6709\>\<#80FD\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#6210\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>+\<b-u\><rsub|2>+\<cdots\>+\<b-u\><rsub|n>>
    \<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#7684\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>
    <math|\<b-u\><rsub|i>\<in\>U<rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>.
    \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#548C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|U<rsub|1>+U<rsub|2>+\<cdots\>+U<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      U<rsub|1>+U<rsub|2>+\<cdots\>+U<rsub|n>=<around*|{|\<b-u\><rsub|1>+\<b-u\><rsub|2>+\<cdots\>+\<b-u\><rsub|n><around*|\||\<b-u\><rsub|i>\<in\>U<rsub|i>,i=1,2,\<ldots\>,n|\<nobracket\>>|}>
    </equation*>
  </definition>

  \<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#548C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#6982\>\<#5FF5\>\<#5728\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#5730\>\<#4F4D\>\<#FF0C\>\<#7C7B\>\<#4F3C\>\<#4E8E\>\<#5B50\>\<#96C6\>\<#7684\>\<#5E76\>\<#96C6\>\<#5728\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#5730\>\<#4F4D\>.

  <\theorem>
    \<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#548C\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#662F\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#5305\>\<#542B\>\<#8FD9\>\<#51E0\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#6700\>\<#5C0F\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.
  </theorem>

  <\proof>
    \<#9996\>\<#5148\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#548C\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#9996\>\<#5148\>\<#5B83\>\<#7531\>\<#4E8E\>
    <math|\<b-0\>> \<#540C\>\<#65F6\>\<#88AB\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>
    <math|U<rsub|i>> \<#6240\>\<#5305\>\<#542B\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5B83\>\<#80FD\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#6210\>
    <math|\<b-0\>=\<b-0\>+\<b-0\>+\<cdots\>+\<b-0\>>
    \<#7684\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#53F3\>\<#4FA7\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
    <math|\<bbb-0\>\<b-0\>> \<#5206\>\<#522B\>\<#6765\>\<#81EA\>\<#4E8E\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>
    <math|U<rsub|i>>(\<#5B9E\>\<#9645\>\<#4E0A\>\<#662F\>\<#540C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>).
    \<#5373\> <math|\<b-0\>\<in\>U<rsub|1>+U<rsub|2>+\<cdots\>+U<rsub|n>>.
    \<#800C\> <math|U<rsub|2>+\<cdots\>+U<rsub|n>>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#548C\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#5C01\>\<#95ED\>\<#6027\>\<#662F\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>
    <math|U<rsub|2>+\<cdots\>+U<rsub|n>> \<#4E5F\>\<#6784\>\<#6210\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.

    \<#5176\>\<#6B21\>\<#8BF4\>\<#660E\> <math|U<rsub|2>+\<cdots\>+U<rsub|n>>
    \<#5305\>\<#542B\>\<#4E86\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>
    <math|U<rsub|i>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#786E\>\<#5B9A\>\<#7684\>
    <math|U<rsub|m>>\<#FF0C\>\<#8BBE\> <math|\<b-u\><rsub|m>\<in\>U<rsub|m>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5728\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#5F0F\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>+\<b-u\><rsub|2>+\<cdots\>+\<b-u\><rsub|n>>
    \<#4E2D\>\<#5C06\>\<#5BF9\>\<#5E94\> <math|U<rsub|m>>
    \<#7684\>\<#5206\>\<#91CF\>\<#53D6\>\<#4E3A\>
    <math|\<b-u\><rsub|m>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5176\>\<#4F59\>\<#7684\>\<#5206\>\<#91CF\>\<#90FD\>\<#53D6\>\<#4E3A\>
    <math|\<b-0\>>\<#FF0C\>\<#5373\> <math|\<b-u\><rsub|m>=\<b-0\>+\<cdots\>+\<b-u\><rsub|m>+\<cdots\>+\<b-0\>>
    \<#663E\>\<#7136\>\<#4F4D\>\<#4E8E\> <math|U<rsub|2>+\<cdots\>+U<rsub|n>>
    \<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8868\>\<#660E\>
    <math|U<rsub|m>\<subseteq\>U<rsub|2>+\<cdots\>+U<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|U<rsub|m>> \<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6027\>\<#5373\>\<#77E5\>
    <math|U<rsub|2>+\<cdots\>+U<rsub|n>> \<#540C\>\<#65F6\>\<#5305\>\<#542B\>\<#4E86\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>
    <math|U<rsub|i>>.

    \<#5047\>\<#82E5\> <math|W> \<#662F\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#5305\>\<#4E86\>\<#6240\>\<#6709\>
    <math|U<rsub|i>> \<#7684\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#4ECE\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
    <math|U<rsub|i>> \<#4E2D\>\<#53D6\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-u\><rsub|i>>\<#FF0C\>\<#5219\> <math|W>
    \<#5FC5\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#5305\>\<#542B\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>
    <math|\<b-u\><rsub|i>>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#4E5F\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#5305\>\<#542B\>
    <math|><math|\<b-u\><rsub|1>+\<b-u\><rsub|2>+\<cdots\>+\<b-u\><rsub|n>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4FBF\>\<#8868\>\<#660E\>\<#FF0C\><math|U<rsub|2>+\<cdots\>+U<rsub|n>\<subseteq\>W>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\><math|U<rsub|2>+\<cdots\>+U<rsub|n>>
    \<#662F\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#5305\>\<#542B\>\<#6240\>\<#6709\>
    <math|U<rsub|i>> \<#7684\>\<#6700\>\<#5C0F\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.
  </proof>

  <\example>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\> <math|F<rsup|3>> \<#4E2D\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#8FC7\>\<#539F\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#6761\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#6761\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#7684\>\<#548C\>\<#662F\>\<#7531\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#6761\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#6240\>\<#51B3\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#5E73\>\<#9762\>.
  </example>

  <subsection|\<#76F4\>\<#548C\>>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|U<rsub|1>,U<rsub|2>,\<ldots\>,U<rsub|n>>
    \<#90FD\>\<#662F\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#7684\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
    <math|U<rsub|1>+U<rsub|2>+\<cdots\>+U<rsub|n>>
    \ \<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <strong|u>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#5206\>\<#89E3\>\<#5F0F\>
    <math|\<b-u\>=\<b-u\><rsub|1>+\<b-u\><rsub|2>+\<cdots\>+\<b-u\><rsub|n><around*|(|\<b-u\><rsub|i>\<in\>U<rsub|i>,i=1,2,\<ldots\>,n|)>>
    \<#90FD\>\<#662F\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>
    \ <math|U<rsub|1>+U<rsub|2>+\<cdots\>+U<rsub|n>>
    \<#4E3A\><underline|\<#76F4\>\<#548C\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <name|<strong|>><math|U<rsub|1>\<oplus\>U<rsub|2>\<oplus\>\<cdots\>\<oplus\>U<rsub|n>>.
  </definition>

  <\example>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\> <math|F<rsup|3>>\<#FF0C\>\<#8FC7\>\<#539F\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#6761\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#7531\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#6761\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#6240\>\<#51B3\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#8FD8\>\<#662F\>\<#76F4\>\<#548C\>.
    \<#7136\>\<#800C\>\<#FF0C\>\<#8FC7\>\<#539F\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#4E24\>\<#8005\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#6574\>\<#4E2A\>\<#4E09\>\<#7EF4\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#548C\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#76F4\>\<#548C\>.
    \<#4E0D\>\<#8FC7\>\<#FF0C\>\<#4E00\>\<#5F20\>\<#8FC7\>\<#539F\>\<#70B9\>\<#7684\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#4E0E\>\<#4E00\>\<#6761\>\<#8FC7\>\<#539F\>\<#70B9\>\<#4F46\>\<#4E0D\>\<#5728\>\<#8BE5\>\<#5E73\>\<#9762\>\<#5185\>\<#7684\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#6574\>\<#4E2A\>\<#4E09\>\<#7EF4\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#548C\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#76F4\>\<#548C\>.
  </example>

  <\theorem>
    \<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#7684\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|U<rsub|1>,U<rsub|2>,\<ldots\>,U<rsub|n>>
    \<#4E4B\>\<#548C\>\<#662F\>\<#76F4\>\<#548C\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>
    <math|\<b-0\>> \<#53EA\>\<#80FD\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#7684\>\<#5206\>\<#89E3\>\<#4E3A\>
    <math|\<b-0\>=\<b-0\>+\<b-0\>+\<cdots\>+\<b-0\>>
    (\<#4ECE\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#90FD\>\<#53D6\>
    <math|\<b-0\>>).
  </theorem>

  <\proof>
    \<#5FC5\>\<#8981\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>\<#5206\>\<#89E3\>\<#5F0F\>
    <math|\<b-0\>=\<b-0\>+\<b-0\>+\<cdots\>+\<b-0\>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#76F4\>\<#548C\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4FDD\>\<#8BC1\>\<#4E86\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5206\>\<#89E3\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#6027\>.

    \<#5145\>\<#5206\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#82E5\> <math|\<b-0\>>
    \<#5728\> <math|U<rsub|1>+U<rsub|2>+\<cdots\>+U<rsub|n>>
    \<#4E2D\>\<#53EA\>\<#6709\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#7684\>\<#5206\>\<#89E3\>\<#5F0F\>
    <math|\<b-0\>=\<b-0\>+\<b-0\>+\<cdots\>+\<b-0\>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|U<rsub|1>+U<rsub|2>+\<cdots\>+U<rsub|n>>
    \<#4E0D\>\<#662F\>\<#76F4\>\<#548C\>,
    \ \<#5219\>\<#5FC5\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-u\>>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#81F3\>\<#5C11\>\<#6709\>\<#4E24\>\<#79CD\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#5206\>\<#89E3\>\<#5F0F\>
    <math|\<b-u\>=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<b-u\><rsub|i>=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<b-v\><rsub|i>>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>
    <math|\<b-u\><rsub|i>,\<b-v\><rsub|i>\<in\>U<rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#FF0C\>\<#4E14\>
    <math|\<b-u\><rsub|i>=\<b-v\><rsub|i>>
    \<#4E0D\>\<#80FD\>\<#5BF9\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>
    <math|i=1,2,\<ldots\>,n> \<#540C\>\<#65F6\>\<#6210\>\<#7ACB\>(\<#5426\>\<#5219\>\<#5C31\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#5206\>\<#89E3\>\<#5F0F\>\<#4E86\>)\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5C31\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E86\>
    <math|\<b-0\>> \<#7684\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#5206\>\<#89E3\>\<#5F0F\>
    <math|\<b-0\>=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n><around*|(|\<b-u\><rsub|i>-\<b-v\><rsub|i>|)>>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#8FD9\>\<#5206\>\<#89E3\>\<#5F0F\>\<#5F02\>\<#4E8E\>
    <math|\<b-0\>=\<b-0\>+\<b-0\>+\<cdots\>+\<b-0\>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E0E\>\<#5047\>\<#8BBE\>\<#7684\>\<#524D\>\<#63D0\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#76F8\>\<#77DB\>\<#76FE\>.
    \<#6240\>\<#4EE5\>\<#5145\>\<#5206\>\<#6027\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>.
  </proof>

  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#548C\>\<#662F\>\<#5426\>\<#662F\>\<#76F4\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#5982\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>

  <\theorem>
    \<#8BBE\> <math|U> \<#548C\> <math|W>
    \<#662F\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|U+W> \<#662F\>\<#76F4\>\<#548C\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>
    <math|U\<cap\>W=<around*|{|\<b-0\>|}>>.
  </theorem>

  <\proof>
    \<#5148\>\<#8BC1\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5FC5\>\<#6709\>
    <math|\<b-0\>\<in\>U> \<#53CA\> <math|\<b-0\>\<in\>W>\<#FF0C\> \<#5373\>
    <math|\<b-0\>\<in\>U\<cap\>W>\<#FF0C\>\<#82E5\> <math|U+W>
    \<#662F\>\<#76F4\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#4EFB\>\<#53D6\>
    <math|\<b-v\>\<in\>U\<cap\>W>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5206\>\<#89E3\>\<#5F0F\>
    <math|\<b-v\>=\<b-v\>+\<b-0\><around*|(|\<b-v\>\<in\>U,\<b-0\>\<in\>W|)>>
    \<#53CA\> <math|\<b-v\>=\<b-0\>+\<b-v\><around*|(|\<b-0\>\<in\>U,\<b-v\>\<in\>W|)>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5206\>\<#89E3\>\<#5F0F\>\<#5F53\>\<#4E14\>\<#4EC5\>\<#5F53\>
    <math|\<b-v\>=\<b-0\>> \<#624D\>\<#80FD\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|U+W> \<#662F\>\<#76F4\>\<#548C\>\<#5C31\>\<#5FC5\>\<#987B\>
    <math|U\<cap\>W=<around*|{|\<b-0\>|}>>.

    \<#518D\>\<#8BC1\>\<#5145\>\<#5206\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|U\<cap\>W=<around*|{|\<b-0\>|}>>\<#FF0C\>\<#8BBE\> <math|\<b-0\>>
    \<#6709\>\<#5206\>\<#89E3\>\<#5F0F\> <math|\<b-0\>=\<b-u\>+\<b-w\><around*|(|\<b-u\>\<in\>U,\<b-w\>\<in\>W|)>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#8BF4\>\<#660E\>
    <math|\<b-u\>> \<#4E0E\> <math|\<b-w\>>
    \<#4E92\>\<#4E3A\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#9006\>\<#5143\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#5BF9\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#5C01\>\<#95ED\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#77E5\>\<#4E5F\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#6709\>
    <math|\<b-u\>\<in\>W> \<#53CA\> <math|\<b-w\>\<in\>U>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>
    <math|<around*|{|\<b-0\>,\<b-u\>,\<b-w\>|}>\<subseteq\>U\<cap\>W>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#53EA\>\<#80FD\>
    <math|\<b-u\>=\<b-w\>=\<b-0\>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\> <math|\<b-0\>>
    \<#53EA\>\<#6709\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#7684\>\<#5206\>\<#89E3\>\<#5F0F\>
    <math|\<b-0\>=\<b-0\>+\<b-0\>>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
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    \<#800C\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2A\> <math|\<b-0\>>
    \<#6765\>\<#81EA\>\<#4E8E\> <math|W>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>
    <math|U+W> \<#4E3A\>\<#76F4\>\<#548C\>.
  </proof>

  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
  \<#7684\>\<#591A\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>
  <math|U<rsub|1>,U<rsub|2>,\<ldots\>,U<rsub|n>>
  \<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#4E24\>\<#4E24\>\<#4EA4\>\<#96C6\>\<#4E3A\>
  <math|<around*|{|\<b-0\>|}>> \<#5219\>\<#5E76\>\<#4E0D\>\<#80FD\>\<#4FDD\>\<#8BC1\>
  <math|U<rsub|1>+U<rsub|2>+\<cdots\>+U<rsub|n>> \<#4E3A\>\<#76F4\>\<#548C\>.

  <section|\<#6709\>\<#7EBF\>\<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>>

  <subsection|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#53CA\>\<#6269\>\<#5F20\>>

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    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>,\<#5F62\>\<#5982\>
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    <math|a<rsub|i>\<in\>F<around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>.
  </definition>

  \<#5BB9\>\<#6613\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#FF0C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>
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  <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
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  <\definition>
    \<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#7684\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#539F\>\<#6709\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#4E0B\>\<#6240\>\<#6210\>\<#7684\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#7684\><underline|\<#5F20\>\<#6210\>\<#7A7A\>\<#95F4\>>\<#FF0C\>\<#8BB0\>\<#4F5C\>
    <math|L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#5373\>

    <\equation*>
      L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>=<around*|{|a<rsub|1>\<b-v\><rsub|1>+a<rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>\<b-v\><rsub|n><around*|\||a<rsub|i>\<in\>F,i=1,2,\<ldots\>,n|\<nobracket\>>|}>
    </equation*>
  </definition>

  \<#663E\>\<#7136\> <math|><math|L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>>
  \<#662F\> <math|V> \<#7684\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#FF0C\><math|\<b-v\><rsub|i>\<in\>L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>\<#5728\>
  <math|a<rsub|1>\<b-v\><rsub|1>+a<rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>\<b-v\><rsub|n>>
  \<#4E2D\>\<#628A\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#9879\>\<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#53D6\>\<#4E3A\>
  1 \<#800C\>\<#5176\>\<#4F59\>\<#9879\>\<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#53D6\>\<#4E3A\>
  0 \<#5373\>\<#53EF\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#5BF9\>\<#5E94\>\<#7684\>
  <math|\<b-v\><rsub|i>>.

  <\proposition>
    \<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#5F20\>\<#6210\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#662F\>\<#5305\>\<#542B\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#6700\>\<#5C0F\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#8BBE\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#7684\>\<#5F20\>\<#6210\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E3A\>
    <math|L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#5047\>\<#82E5\>
    <math|W> \<#662F\>\<#5305\>\<#542B\>\<#8FD9\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#5305\>\<#542B\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5F62\>\<#5982\>
    <math|a<rsub|1>\<b-v\><rsub|1>+a<rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>\<b-v\><rsub|n>>
    \<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#5373\>
    <math|L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>\<subseteq\>W>.
  </proof>

  <\definition>
    \<#5982\>\<#679C\> <math|L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>=V>\<#FF0C\>\<#79F0\>
    <math|V> \<#662F\>\<#7531\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    <underline|\<#5F20\>\<#6210\>>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6216\>\<#8005\>\<#79F0\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    <underline|\<#5F20\>\<#6210\>>\<#4E86\> <math|V>.
  </definition>

  <\definition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#7531\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#4E00\>\<#4E2A\>(\<#957F\>\<#5EA6\>\<#6709\>\<#9650\>)\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#6240\>\<#5F20\>\<#6210\>\<#FF0C\>\<#5373\>
    <math|V=L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>>,\<#5C31\>\<#79F0\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#662F\><dfn|<underline|\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>>>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#53CD\>\<#4E4B\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#5B83\>\<#662F\><underline|\<#65E0\>\<#9650\>\<#7EF4\>>\<#7684\>.
  </definition>

  <\example>
    \<#7CFB\>\<#6570\>\<#6765\>\<#81EA\>\<#4E8E\>\<#6570\>\<#96C6\> <math|F>
    \<#4E0A\>\<#7684\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#51FD\>\<#6570\>\ 

    <\equation*>
      P<around*|(|F|)>=a<rsub|0>+a<rsub|1>x+\<cdots\>+a<rsub|n>x<rsup|n>
    </equation*>

    \<#7684\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#662F\> <math|F>
    \<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#9650\>\<#5B9A\>\<#6B21\>\<#6570\>\<#4E0A\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#4E0D\>\<#9650\>\<#5B9A\>\<#6B21\>\<#6570\>\<#4E0A\>\<#9650\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.
  </example>

  <\definition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\> <math|\<b-u\>>
    \<#80FD\>\<#591F\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#4E3A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-u\>> \<#80FD\>\<#591F\>\<#7ECF\>\<#7531\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    <underline|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#8868\>\<#51FA\>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|m>>
    \<#4E2D\>\<#7684\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-u\><rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,m|)>>
    \<#90FD\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#7ECF\>\<#7531\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#7EBF\>\<#6027\>\<#8868\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|m>>
    \<#80FD\>\<#591F\>\<#7ECF\>\<#7531\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    <underline|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#8868\>\<#51FA\>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#4E92\>\<#76F8\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#8868\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\><underline|\<#7B49\>\<#4EF7\>>.
  </definition>

  \;

  <subsection|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#4E0E\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>>

  <\definition>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#4E2D\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
    <math|a<rsub|1>\<b-v\><rsub|1>+a<rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>\<b-v\><rsub|n>=\<b-0\>>
    \<#5F53\>\<#4E14\>\<#4EC5\>\<#5F53\> <math|a<rsub|1>,a<rsub|2>,\<ldots\>,a<rsub|n>>
    \<#5168\>\<#90E8\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#65F6\>\<#624D\>\<#80FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#79F0\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#662F\><underline|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>>\<#7684\>.
  </definition>

  \<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#4F55\>\<#975E\>\<#7A7A\>\<#5B50\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#5355\>\<#4E2A\>\<#975E\>
  <math|\<b-0\>> \<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#6210\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>.

  \<#4E3A\>\<#4E86\>\<#65B9\>\<#4FBF\>\<#4EE5\>\<#540E\>\<#7684\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#89C4\>\<#5B9A\>\<#7A7A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>.

  <\definition>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#4E2D\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
    <math|a<rsub|1>\<b-v\><rsub|1>+a<rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>\<b-v\><rsub|n>=\<b-0\>>
    \<#80FD\>\<#591F\>\<#5BF9\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#4E0D\>\<#5168\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#7684\>\<#6570\>
    <math|a<rsub|1>,a<rsub|2>,\<ldots\>,a<rsub|n>>
    \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#662F\><underline|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>>\<#7684\>.
  </definition>

  \<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6574\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#FF0C\>\<#4EFB\>\<#4F55\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B83\>\<#5305\>\<#542B\>\<#4E86\>
  <math|\<b-0\>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B83\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>(\<#53EA\>\<#8981\>\<#5728\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#4E2D\>\<#5C06\>
  <math|\<b-0\>> \<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#53D6\>\<#4E3A\>\<#975E\>
  0\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5176\>\<#4F59\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#5168\>\<#662F\>
  0 \<#5373\>\<#53EF\>).

  <\proposition>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5411\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#6DFB\>\<#52A0\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#4E3A\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#5FC5\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#8BBE\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\> <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <math|\<b-w\>=a<rsub|1>\<b-v\><rsub|1>+a<rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>\<b-v\><rsub|n>>
    \<#662F\>\<#8FD9\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>

    <\equation*>
      a<rsub|1>\<b-v\><rsub|1>+a<rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>\<b-v\><rsub|n>-\<b-w\>=\<b-0\>
    </equation*>

    \<#7531\>\<#4E8E\> <math|\<b-w\>> \<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#975E\>0\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4FBF\>\<#8868\>\<#660E\>\<#4E86\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>,\<b-w\>>
    \<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>.
  </proof>

  \;

  <\proposition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#5FC5\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#4E3A\>\<#5176\>\<#4F59\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#53BB\>\<#6389\>\<#8BE5\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E5F\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#5F71\>\<#54CD\>\<#8BE5\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#5F20\>\<#6210\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\> <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#4E0D\>\<#5168\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#7684\>\<#6570\>
    <math|a<rsub|1>,a<rsub|2>,\<ldots\>,a<rsub|n>>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|a<rsub|1>\<b-v\><rsub|1>+a<rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>\<b-v\><rsub|n>=\<b-0\>>
    \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#4E0D\>\<#59A8\>\<#5047\>\<#5B9A\>
    <math|a<rsub|1>\<neq\>0>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5C31\>\<#6709\>

    <\equation*>
      \<b-v\><rsub|1>=-<frac|a<rsub|2>|a<rsub|1>>\<b-v\><rsub|2>-<frac|a<rsub|3>|a<rsub|1>>\<b-v\><rsub|3>-\<cdots\>-<frac|a<rsub|n>|a<rsub|1>>\<b-v\><rsub|n>
    </equation*>

    \<#5373\> <math|\<b-v\><rsub|1>> \<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#4E3A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#4E2D\>\<#5176\>\<#4F59\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>.

    \<#73B0\>\<#5728\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#53BB\>\<#6389\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>> \<#524D\>\<#540E\>\<#7684\>\<#5F20\>\<#6210\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#662F\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4ECD\>\<#5047\>\<#5B9A\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>> \<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#4E3A\>\<#5176\>\<#4F59\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#5373\>\<#662F\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>=L<around*|(|\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>>.
    \<#4EFB\>\<#53D6\> <math|\<b-u\>\<in\>L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#5176\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#8868\>\<#8FBE\>

    <\equation*>
      \<b-u\>=\<lambda\><rsub|1>\<b-v\><rsub|1>+\<lambda\><rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+\<lambda\><rsub|n>\<b-v\><rsub|n>
    </equation*>

    \<#800C\> <math|\<b-v\><rsub|1>> \<#53C8\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#4E3A\>
    <math|\<b-v\><rsub|2>,\<b-v\><rsub|3>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\ 

    <\equation*>
      \<b-v\><rsub|1>=\<mu\><rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+\<mu\><rsub|n>\<b-v\><rsub|n>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|\<b-u\>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\><rsub|1>\<b-v\><rsub|1>+\<lambda\><rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+\<lambda\><rsub|n>\<b-v\><rsub|n>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|\<lambda\><rsub|1><around*|(|\<mu\><rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+\<mu\><rsub|n>\<b-v\><rsub|n>|)>+\<lambda\><rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+\<lambda\><rsub|n>\<b-v\><rsub|n>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|\<lambda\><rsub|1>\<mu\><rsub|2>+\<lambda\><rsub|2>|)>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+<around*|(|\<lambda\><rsub|1>\<mu\><rsub|n>+\<lambda\><rsub|n>|)>\<b-v\><rsub|n>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#8FD9\>\<#8868\>\<#660E\> <math|\<b-u\>\<in\>L<around*|(|\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>
    <math|L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>\<subseteq\>L<around*|(|\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>>.

    \<#53E6\>\<#4E00\>\<#65B9\>\<#9762\>\<#FF0C\>\<#4EFB\>\<#53D6\>
    <math|\<b-w\>\<in\>L<around*|(|\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#8868\>\<#8FBE\>\ 

    <\equation*>
      \<b-w\>=\<eta\><rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+\<eta\><rsub|n>\<b-v\><rsub|n>=0\<b-v\><rsub|1>+\<eta\><rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+\<eta\><rsub|n>\<b-v\><rsub|n>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>\<#6709\> <math|\<b-w\>\<in\>L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>
    <math|><math|L<around*|(|\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>\<subseteq\>L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>

    <\equation*>
      L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>=L<around*|(|\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>
    </equation*>
  </proof>

  \<#5982\>\<#679C\>\<#5728\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#547D\>\<#9898\>\<#7684\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6027\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#975E\>\<#96F6\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#9009\>\<#53D6\>\<#6700\>\<#540E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#800C\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#4EFB\>\<#9009\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7684\>\<#8BDD\>\<#FF0C\>\<#8FD8\>\<#80FD\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#5F15\>\<#7406\>:

  <\lemma>
    <inactive|<label|linear-dependency-lemma>>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#6765\>\<#81EA\>\<#4E8E\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#5E76\>\<#4E14\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5FC5\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>
    <math|\<b-v\><rsub|i><around*|(|1\<leqslant\>i\<leqslant\>n|)>>
    \<#540C\>\<#65F6\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6761\>\<#4EF6\>

    <\enumerate-alpha>
      <item><math|\<b-v\><rsub|i>\<in\>L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|i-1>|)>>

      <item><math|L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>=L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|i-1>|)>>
    </enumerate-alpha>
  </lemma>

  \<#6CE8\>\<#610F\>\<#8FD9\>\<#5F15\>\<#7406\>\<#7684\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#9700\>\<#8981\>\<#5728\>\<#4E0A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#547D\>\<#9898\>\<#7684\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#6027\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E2D\>\<#9009\>\<#62E9\>\<#6700\>\<#540E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#975E\>\<#96F6\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#5373\>\<#53EF\>.\<#800C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#7B26\>\<#53F7\>\<#8FD9\>\<#547D\>\<#9898\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#662F\>
  <math|\<b-v\><rsub|1>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#8FD9\>\<#610F\>\<#5473\>\<#7740\>

  <\equation*>
    a<rsub|1>\<b-v\><rsub|1>+0\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+0\<b-v\><rsub|n>=\<b-0\>
  </equation*>

  \<#5176\>\<#4E2D\> <math|a<rsub|1>\<neq\>0>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8BF4\>\<#660E\>
  <math|\<b-v\><rsub|1>=\<b-0\>>\<#FF0C\>\<#6362\>\<#53E5\>\<#8BDD\>\<#8BF4\>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#8981\>
  <math|\<b-v\><rsub|1>\<neq\>\<b-0\>>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#80FD\>\<#4FDD\>\<#8BC1\>\<#7B26\>\<#5408\>\<#8FD9\>\<#547D\>\<#9898\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E0D\>\<#662F\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>.

  \<#6709\>\<#4E86\>\<#8FD9\>\<#5F15\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5173\>\<#952E\>\<#6027\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>:

  <\theorem>
    \<#8BBE\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#53EF\>\<#7ECF\>\<#7531\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#5F20\>\<#6210\>\<#FF0C\>\<#5373\> <math|V=L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|m>>
    \<#662F\> <math|V> \<#4E2D\>\<#7684\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#4E14\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5FC5\>\<#6709\>
    <math|m\<leqslant\>n>.
  </theorem>

  <\proof>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5F20\>\<#6210\> <math|V>
    \<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\> <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>\<#FF0C\>\<#628A\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>> \<#52A0\>\<#5728\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#6700\>\<#524D\>\<#9762\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#4E3A\>
    <math|n+1> \<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\> <math|\<b-u\><rsub|1>> \<#53EF\>\<#88AB\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#7EBF\>\<#6027\>\<#8868\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7684\>\<#5F15\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#53EF\>\<#88AB\>\<#5B83\>\<#524D\>\<#9762\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#8868\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5B83\>\<#5FC5\>\<#5B9A\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#662F\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>>(\<#5F15\>\<#7406\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#8FC7\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#7B26\>\<#5408\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#7684\>\<#662F\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#8BF4\>\<#660E\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#662F\>\<#96F6\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E0E\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|m>>
    \<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#76F8\>\<#77DB\>\<#76FE\>)\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#662F\>\<#67D0\>\<#4E2A\>
    <math|\<b-v\><rsub|i>>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\>\<#5F15\>\<#7406\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#53BB\>\<#6389\>\<#5B83\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#5F71\>\<#54CD\>\<#5F20\>\<#6210\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#5F20\>\<#6210\>
    <math|V> \<#7684\> <math|n> \<#5411\>\<#91CF\>\<#5F62\>\<#6210\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>.

    \<#540C\>\<#6837\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#628A\> <math|\<b-u\><rsub|2>>
    \<#52A0\>\<#5230\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#6700\>\<#524D\>\<#9762\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
    <math|n+1> \<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-u\><rsub|2>,\<b-u\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|1>,\<ldots\>>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#7684\>\<#FF0C\><math|\<b-u\><rsub|2>>
    \<#7684\>\<#52A0\>\<#5165\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5B83\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#53C8\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#80FD\>\<#7531\>\<#524D\>\<#9762\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#8868\>\<#51FA\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#800C\>\<#4E14\>\<#53BB\>\<#6389\>\<#5B83\>\<#4E5F\>\<#4E0D\>\<#5F71\>\<#54CD\>\<#5269\>\<#4E0B\>\<#7684\>
    <math|n> \<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#5F20\>\<#6210\>
    <math|V>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#7B26\>\<#5408\>\<#8FD9\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#4E0D\>\<#4F1A\>\<#662F\>\<#67D0\>\<#4E2A\>
    <math|\<b-u\><rsub|j>>(\<#56E0\>\<#4E3A\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|m>>
    \<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#65E0\>\<#6CD5\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6761\>\<#4EF6\>)\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#80FD\>\<#662F\>\<#67D0\>\<#4E2A\>
    <math|\<b-v\><rsub|i>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#53BB\>\<#6389\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>
    <math|><math|\<b-v\><rsub|i>> \<#4E4B\>\<#540E\>\<#5269\>\<#4E0B\>\<#7684\>
    <math|n> \<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4F9D\>\<#7136\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#5F20\>\<#6210\>
    <math|V>. \<#4F46\>\<#662F\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#662F\>\<#7531\>\<#4E24\>\<#4E2A\>
    <math|\<b-u\><rsub|j>> \<#548C\> <math|n-2> \<#4E2A\>
    <math|\<b-v\><rsub|i>> \<#6784\>\<#6210\>.

    \<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#91CD\>\<#590D\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#FF0C\>\<#6BCF\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#4E00\>\<#6B65\>\<#5F97\>\<#51FA\>\<#7684\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#90FD\>\<#4FDD\>\<#6301\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#4E3A\>
    <math|n> \<#4E14\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#5F20\>\<#6210\>
    <math|V>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>
    <math|\<b-u\>> \<#589E\>\<#52A0\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#800C\>
    <math|\<b-v\>> \<#51CF\>\<#5C11\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#FF0C\>\<#4E00\>\<#76F4\>\<#91CD\>\<#590D\>\<#4E0B\>\<#53BB\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#4F1A\>\<#51FA\>\<#73B0\>\<#4E24\>\<#79CD\>\<#7ED3\>\<#679C\>:

    \<#7B2C\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#7ED3\>\<#679C\>, \<#7531\>\<#4E8E\>
    <math|\<b-u\>> \<#7684\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E0D\>\<#8D85\>\<#8FC7\>
    <math|\<b-v\>> \<#FF0C\>\<#5373\> <math|m\<leqslant\>n>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>
    <math|\<b-u\>> \<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#52A0\>\<#5165\>\<#4E86\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#4E2D\>\<#7684\>
    <math|\<b-v\>> \<#53EF\>\<#80FD\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#88AB\>\<#79FB\>\<#9664\>(<math|m=n>)\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#8FD8\>\<#6709\>\<#5269\>\<#4E0B\>\<#7684\>(<math|m\<less\>n>).

    \<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#79CD\>\<#7ED3\>\<#679C\>, \<#7531\>\<#4E8E\>
    <math|\<b-u\>> \<#7684\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#8D85\>\<#8FC7\>
    <math|\<b-v\>> (<math|m\<gtr\>n>)\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#4E2D\>\<#7684\>
    <math|\<b-v\>> \<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#88AB\>\<#79FB\>\<#9664\>\<#6389\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#662F\>
    <math|\<b-u\>> \<#8FD8\>\<#6CA1\>\<#6709\>\<#5168\>\<#90E8\>\<#8FDB\>\<#5165\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>.
    \<#7531\>\<#4E8E\>\<#8FD9\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#5F20\>\<#6210\>
    <math|V>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5269\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#8FD8\>\<#672A\>\<#8FDB\>\<#5165\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>
    <math|\<b-u\>> \<#53EF\>\<#88AB\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#8FDB\>\<#5165\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#90A3\>\<#4E9B\>
    <math|\<b-u\>> \<#7EBF\>\<#6027\>\<#8868\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E0E\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|m>>
    \<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#76F8\>\<#77DB\>\<#76FE\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#8FD9\>\<#79CD\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#51FA\>\<#73B0\>.

    \<#7531\>\<#4E8E\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#79CD\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#51FA\>\<#73B0\>\<#77DB\>\<#76FE\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#53EA\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#662F\>\<#7B2C\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5F97\>
    <math|m\<leqslant\>n>.
  </proof>

  \<#8FD9\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#8868\>\<#660E\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E0A\>\<#9650\>.

  \;

  \<#5173\>\<#4E8E\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#6709\>

  <\proposition>
    \<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#7684\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#8BBE\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#7531\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    \ <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#6240\>\<#5F20\>\<#6210\>\<#FF0C\>\<#800C\> <math|U>
    \<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.\ 

    \<#5982\>\<#679C\> <math|U> \<#53EA\>\<#542B\>\<#6709\>\<#96F6\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-0\>>\<#FF0C\>\<#5373\> <math|U=<around*|{|\<b-0\>|}>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B83\>\<#81EA\>\<#7136\>\<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#73B0\>\<#5728\>\<#8003\>\<#8651\>
    <math|U> \<#4E2D\>\<#8FD8\>\<#6709\>\<#5176\>\<#5B83\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>.

    \<#5728\> <math|U> \<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#53D6\>\<#975E\>\<#96F6\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|U=L<around*|(|\<b-u\><rsub|1>|)>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>
    <math|U> \<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#7684\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|U\<neq\>L<around*|(|\<b-u\><rsub|1>|)>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#518D\>\<#53D6\>
    <math|\<b-u\><rsub|2>\<in\>U> \<#4F46\>
    <math|\<b-u\><rsub|2>\<nin\>L<around*|(|\<b-u\><rsub|1>|)>>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#770B\>
    <math|U=L<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>|)>>
    \<#662F\>\<#5426\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#53CD\>\<#590D\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#6B65\>\<#6709\>
    <math|U=L<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|j-1>|)>>
    \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B83\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#4E0D\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#518D\>\<#53D6\>
    <math|\<b-u\><rsub|j>\<in\>U> \<#4F46\>
    <math|\<b-u\><rsub|j>\<nin\>L<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|j-1>|)>>
    \<#7EC4\>\<#6210\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|j-1>>
    \<#7136\>\<#540E\>\<#68C0\>\<#67E5\> <math|U=L<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|j>|)>>
    \<#662F\>\<#5426\>\<#6210\>\<#7ACB\>.

    \<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4E8B\>\<#5B9E\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#4E2D\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#6B65\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|j>>
    \<#5728\> <math|U\<neq\>L<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|j-1>|)>>
    \<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#5B83\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5B83\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6839\>\<#636E\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5F15\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#6709\>\<#67D0\>\<#4E2A\>
    <math|\<b-u\><rsub|j>\<in\>L<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|j-1>|)>>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#8FD9\>\<#4E0E\>
    <math|\<b-u\><rsub|j>> \<#7684\>\<#53D6\>\<#6CD5\>\<#77DB\>\<#76FE\>.

    \<#5982\>\<#679C\>\<#4E0A\>\<#9762\>\<#7684\>\<#6B65\>\<#9AA4\>\<#76F4\>\<#5230\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#4E86\>
    <math|n> \<#6B65\>\<#4E4B\>\<#540E\> <math|U=L<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>|)>>
    \<#90FD\>\<#672A\>\<#80FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#518D\>\<#53D6\>\<#5F97\>
    <math|\<b-u\><rsub|n+1>\<in\>U> \<#4E14\>
    <math|\<b-u\><rsub|n+1>\<nin\>L<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>|)>>
    \<#5C31\>\<#4F1A\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#957F\>\<#5EA6\>\<#4E3A\>
    <math|n+1> \<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>,\<b-u\><rsub|n+1>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E0E\>
    <math|V> \<#662F\>\<#7531\> <math|n> \<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#6240\>\<#5F20\>\<#6210\>\<#7684\>\<#76F8\>\<#77DB\>\<#76FE\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#4E0A\>\<#9762\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#5FC5\>\<#5B9A\>\<#5728\>
    <math|n> \<#6B65\>\<#4E4B\>\<#5185\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#6709\>\<#67D0\>\<#4E2A\>
    <math|U=L<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|j>|)>>
    \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\> <math|U>
    \<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#7684\>.
  </proof>

  <subsection|\<#57FA\>>

  <\definition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#4E2D\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#4E14\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#5F20\>\<#6210\>
    <math|V> \<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#662F\>
    <math|V> \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\><dfn|\<#57FA\>>.
  </definition>

  <\theorem>
    \<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#4E2D\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#662F\>
    <math|V> \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>:
    <math|V> \<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#5747\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#6210\>\<#8BE5\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#552F\>\<#4E00\>.
  </theorem>

  <\proof>
    \<#5FC5\>\<#8981\>\<#6027\>: \<#5982\>\<#679C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#662F\> <math|V> \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#7531\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#6709\>
    <math|V=span<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>|)>>
    \<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\> <math|V> \<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#53EF\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#4E3A\>\<#6B64\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#53C8\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#57FA\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#5FC5\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#5FC5\>\<#662F\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#67D0\>\<#4E2A\>
    <math|\<b-v\>\<in\>V> \<#6709\>\<#4E24\>\<#79CD\>\<#8868\>\<#8FBE\>

    <\equation*>
      \<b-v\>=a<rsub|1>\<b-u\><rsub|1>+a<rsub|2>\<b-u\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>\<b-u\><rsub|n>
    </equation*>

    \<#53CA\>

    <\equation*>
      \<b-v\>=b<rsub|1>\<b-u\><rsub|1>+b<rsub|2>\<b-u\><rsub|2>+\<cdots\>+b<rsub|n>\<b-u\><rsub|n>
    </equation*>

    \<#5219\>\<#4E24\>\<#5F0F\>\<#5DE6\>\<#53F3\>\<#4E24\>\<#8FB9\>\<#5206\>\<#522B\>\<#76F8\>\<#51CF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      \<b-0\>=<around*|(|a<rsub|1>-b<rsub|1>|)>\<b-u\><rsub|1>+<around*|(|a<rsub|2>-b<rsub|2>|)>\<b-u\><rsub|2>+\<cdots\>+<around*|(|a<rsub|n>-b<rsub|n>|)>\<b-u\><rsub|n>
    </equation*>

    \<#7531\>\<#4E8E\> <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|a<rsub|i>=b<rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>.

    \<#5145\>\<#5206\>\<#6027\>: \<#5982\>\<#679C\> <math|V>
    \<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7686\>\<#80FD\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#6210\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#4E14\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#4E00\>\<#5B9A\>\<#662F\> <math|V> \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#FF0C\>\<#9996\>\<#5148\>\<#663E\>\<#7136\>\<#6709\>
    <math|V=span<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#53EA\>\<#9700\>\<#8981\>\<#518D\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \ \<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5C31\>\<#80FD\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#60F3\>\<#8981\>\<#7684\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>.
    \<#5982\>\<#679C\> <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#4E0D\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#800C\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#7531\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5F15\>\<#7406\>\<#FF0C\><math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#4E2D\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\> <math|\<b-u\><rsub|j>>
    \<#4F7F\>\<#5F97\> <math|\<b-u\><rsub|j>\<in\>span<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|j-1>|)>>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>
    <math|\<b-u\><rsub|j>> \<#53EF\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      \<b-u\><rsub|j>=\<lambda\><rsub|1>\<b-u\><rsub|1>+\<ldots\>+\<lambda\><rsub|j-1>\<b-u\><rsub|j-1>
    </equation*>

    \<#4E0A\>\<#5F0F\>\<#6539\>\<#5199\>\<#4E3A\>

    <\equation*>
      \<b-0\>=\<lambda\><rsub|1>\<b-u\><rsub|1>+\<ldots\>+\<lambda\><rsub|j-1>\<b-u\><rsub|j-1>-\<b-u\><rsub|j>
    </equation*>

    \<#7136\>\<#540E\>\<#5BF9\>\<#4E8E\> <math|V>
    \<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-v\>>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#80FD\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#6210\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>

    <\equation*>
      \<b-v\>=a<rsub|1>\<b-u\><rsub|1>+a<rsub|2>\<b-u\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>\<b-u\><rsub|n>
    </equation*>

    \<#4E24\>\<#5F0F\>\<#76F8\>\<#51CF\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      \<b-v\>=<around*|(|a<rsub|1>-\<lambda\><rsub|1>|)>\<b-u\><rsub|1>+\<cdots\>+<around*|(|a<rsub|j-1>-\<lambda\><rsub|j-1>|)>\<b-u\><rsub|j-1>++<around*|(|a<rsub|j>-1|)>\<b-u\><rsub|j>+a<rsub|j+1>\<b-u\><rsub|j+1>\<cdots\>+a<rsub|n>\<b-u\><rsub|n>
    </equation*>

    \<#7531\>\<#4E8E\> <math|\<b-u\><rsub|j>>
    \<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#5DF2\>\<#7136\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#8868\>\<#660E\>
    <math|\<b-v\>> \<#81F3\>\<#5C11\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#7528\>\<#4E24\>\<#7EC4\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#4E3A\>\<#4E86\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E0E\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#77DB\>\<#76FE\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#53EA\>\<#80FD\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>.
  </proof>

  <\theorem>
    \<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#5F20\>\<#6210\>\<#6574\>\<#4E2A\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#90FD\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9000\>\<#5316\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#FF0C\>\<#9000\>\<#5316\>\<#662F\>\<#6307\>\<#4ECE\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#4E2D\>\<#79FB\>\<#9664\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#5411\>\<#91CF\>(\<#5305\>\<#62EC\>\<#4E0D\>\<#79FB\>\<#9664\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>).
  </theorem>

  <\proof>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#8FD9\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B83\>\<#5C31\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#4E86\>.
    \<#5728\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#5F62\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5F15\>\<#7406\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4ECE\>\<#4E2D\>\<#79FB\>\<#9664\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#800C\>\<#4E0D\>\<#6539\>\<#53D8\>\<#6574\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#5F20\>\<#6210\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#79FB\>\<#9664\>\<#7B26\>\<#5408\>\<#5F15\>\<#7406\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#540E\>\<#5269\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#53EF\>\<#5F20\>\<#6210\>\<#539F\>\<#6765\>\<#7684\>\<#6574\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#51CF\>\<#5C11\>\<#4E86\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#FF0C\>\<#6B64\>\<#65F6\>\<#518D\>\<#770B\>\<#5269\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#662F\>\<#5426\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#5219\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#FF0C\>\<#82E5\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#540C\>\<#6837\>\<#7684\>\<#6B65\>\<#9AA4\>\<#53EF\>\<#518D\>\<#8FDB\>\<#884C\>\<#4E0B\>\<#53BB\>\<#FF0C\>\<#6700\>\<#540E\>\<#8981\>\<#4E48\>\<#5728\>\<#79FB\>\<#9664\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#540E\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#FF0C\>\<#8981\>\<#4E48\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#90FD\>\<#88AB\>\<#79FB\>\<#9664\>\<#6389\>\<#4E86\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#7A7A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#524D\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#5269\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#90E8\>\<#5206\>\<#5C31\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#662F\>\<#57FA\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#540E\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#FF0C\>\<#7A7A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#5F20\>\<#6210\>\<#7684\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#53EA\>\<#6709\>
    <math|V=<around*|{|\<b-0\>|}>>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#79CD\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#7A7A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>.
    \<#5B9A\>\<#7406\>\<#6210\>\<#7ACB\>.
  </proof>

  <\proposition>
    \<#4EFB\>\<#4F55\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#90FD\>\<#6709\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#5047\>\<#5B9A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#4F7F\>\<#5F97\> <math|V=span<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>|)>\<#FF0C\>\<#6839\>\<#636E\>\<#4E0A\>\<#4E00\>\<#547D\>\<#9898\>\<#FF0C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    \<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9000\>\<#5316\>\<#4E3A\> <math|V>
    \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#FF0C\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#6210\>\<#7ACB\>.
  </proof>

  <\proposition>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>
    <math|V>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#5747\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6269\>\<#5C55\>\<#4E3A\>
    <math|V> \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#FF0C\>\<#6269\>\<#5C55\>\<#662F\>\<#6307\>\<#6DFB\>\<#52A0\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#5230\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#4E2D\>(\<#5305\>\<#62EC\>\<#4E0D\>\<#6DFB\>\<#52A0\>\<#7684\>\<#60C5\>\<#51B5\>).
  </proposition>

  <\proof>
    \<#8BBE\> <math|V> \<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\><math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#662F\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|V=span<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>>
    \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#5C31\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#662F\> <math|V>
    \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#4E86\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|V\<neq\>span<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>
    <math|V> \<#4E2D\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#67D0\>\<#4E2A\>
    <math|\<b-w\><rsub|1>\<nin\>span<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#628A\>
    <math|\<b-w\><rsub|1>> \<#52A0\>\<#5165\>\<#539F\>\<#6765\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#5FC5\>\<#662F\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>(\<#5426\>\<#5219\>
    <math|\<b-w\><rsub|1>> \<#5C31\>\<#80FD\>\<#8868\>\<#6210\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>),\<#73B0\>\<#5728\>\<#518D\>\<#68C0\>\<#67E5\>
    <math|V=span<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>,\<b-w\><rsub|1>|)>>
    \<#662F\>\<#5426\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#5219\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>,\<b-w\><rsub|1>>
    \<#5C31\>\<#662F\> <math|V> \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#4E0D\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#5219\>\<#518D\>\<#6DFB\>\<#52A0\>
    <math|\<b-w\><rsub|2>\<nin\>span<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>,\<b-w\><rsub|1>|)>>
    \<#5230\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#6210\>\<#4E3A\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>,\<b-w\><rsub|1>,\<b-w\><rsub|2>>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#FF0C\>\<#65B0\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#4ECD\>\<#7136\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>,
    \<#7136\>\<#540E\>\<#68C0\>\<#67E5\> <math|V=span<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>,\<b-w\><rsub|1>,\<b-w\><rsub|2>|)>>
    \<#662F\>\<#5426\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#6B64\>\<#4E0B\>\<#53BB\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>
    <math|V> \<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#662F\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E0A\>\<#9650\>\<#7684\>(\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#8D85\>\<#8FC7\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#5F20\>\<#6210\>\<#6574\>\<#4E2A\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E2A\>\<#6570\>)\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>,\<b-w\><rsub|1>,\<b-w\><rsub|2>,\<ldots\>>
    \<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#65E0\>\<#9650\>\<#6269\>\<#5C55\>\<#4E0B\>\<#53BB\>\<#FF0C\>\<#5FC5\>\<#7136\>\<#5728\>\<#6269\>\<#5C55\>\<#6709\>\<#9650\>\<#6B65\>\<#4E4B\>\<#540E\>
    <math|V=span<around*|(|\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>,\<b-w\><rsub|1>,\<b-w\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-w\><rsub|m>|)>>
    \<#80FD\>\<#591F\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>
    <math|\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>,\<b-w\><rsub|1>,\<b-w\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-w\><rsub|m>>
    \<#5C31\>\<#662F\> <math|V> \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>.
  </proof>

  <\theorem>
    \<#8BBE\> <math|V> \<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>
    <math|U>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#5B58\>\<#5728\> <math|V>
    \<#7684\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>
    <math|W>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\> <math|V=U\<oplus\>V>.
  </theorem>

  <\proof>
    \<#8BBE\> <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#662F\> <math|U> \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B83\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6269\>\<#5C55\>\<#4E3A\>
    <math|V> \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>,\<b-w\><rsub|1>,\<b-w\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-w\><rsub|m>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#53D6\>
    <math|W=span<around*|(|\<b-w\><rsub|1>,\<b-w\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-w\><rsub|m>|)>>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|V=U\<oplus\>W>.

    \<#5BB9\>\<#6613\>\<#770B\>\<#51FA\> <math|V=U+W>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#9700\>\<#8981\>\<#518D\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|U\<cap\>W=<around*|{|0|}>>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
    <math|\<b-alpha\>\<in\>U\<cap\>W>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>

    <\equation*>
      \<lambda\><rsub|1>\<b-u\><rsub|1>+\<cdots\>+\<lambda\><rsub|n>\<b-u\><rsub|n>=\<b-alpha\>=\<mu\><rsub|1>\<b-w\><rsub|1>+\<cdots\>+\<mu\><rsub|m>\<b-w\><rsub|m>
    </equation*>

    \<#4E8E\>\<#662F\>

    <\equation*>
      \<lambda\><rsub|1>\<b-u\><rsub|1>+\<cdots\>+\<lambda\><rsub|n>\<b-u\><rsub|n>-\<mu\><rsub|1>\<b-w\><rsub|1>-\<cdots\>-\<mu\><rsub|m>\<b-w\><rsub|m>=\<b-0\>
    </equation*>

    \<#800C\> <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>,\<b-w\><rsub|1>,\<b-w\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-w\><rsub|m>>
    \<#662F\> <math|V> \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>
    <math|\<lambda\><rsub|1>=\<cdots\>=\<lambda\><rsub|n>=\<mu\><rsub|1>=\<cdots\>=\<mu\><rsub|m>=0>\<#FF0C\>\<#5373\>
    <math|\<b-alpha\>=\<b-0\>>\<#FF0C\>\<#4E5F\>\<#5373\>
    <math|U\<cap\>W=<around*|{|0|}>>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\> <math|U+W>
    \<#662F\>\<#76F4\>\<#548C\>\<#FF0C\>\<#5373\> <math|V=U\<oplus\>W>.
  </proof>

  <subsection|\<#7EF4\>>

  <\proposition>
    \<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7684\>\<#57FA\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#76F8\>\<#540C\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#8BBE\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>
    <math|V> \<#6709\>\<#4E24\>\<#7EC4\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#57FA\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#548C\> <math|\<b-w\><rsub|1>,\<b-w\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-w\><rsub|m>>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#7531\>\<#4E8E\>
    <math|><math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#4E14\>
    <math|V=span<around*|(|\<b-w\><rsub|1>,\<b-w\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-w\><rsub|m>|)>>
    \<#5F97\> <math|n\<leqslant\>m>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#53CD\>\<#8FC7\>\<#6765\>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|\<b-w\><rsub|1>,\<b-w\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-w\><rsub|m>>
    \<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#4E14\>
    <math|V=span<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>|)>>
    \<#5F97\> <math|m\<leqslant\>n>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\> <math|m=n>.
  </proof>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|V> \<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#79F0\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#57FA\>\<#5305\>\<#542B\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#4E3A\>
    <math|V> \<#7684\>\<#7EF4\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#7528\>\<#7B26\>\<#53F7\>
    <math|dim V> \<#8BB0\>\<#4E4B\>.
  </definition>

  <\proposition>
    \<#8BBE\> <math|V> \<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\><math|U>
    \<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|dim U\<leqslant\>dim V>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#8BBE\> <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#662F\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|U>
    \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#4E5F\>\<#662F\>
    <math|V> \<#4E2D\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6269\>\<#5C55\>\<#4E3A\>
    <math|V> \<#4E2D\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>,\<b-w\><rsub|1>,\<b-w\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-w\><rsub|m><around*|(|m\<geqslant\>0|)>>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>
    <math|dim U=n> \<#800C\> <math|dim V=n+m>\<#FF0C\>\<#6545\> <math|dim
    U\<leqslant\>dim V>.
  </proof>

  <\proposition>
    \<#8BBE\> <math|V> \<#662F\> <math|n>
    \<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5219\> <math|V>
    \<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#4E14\>\<#5305\>\<#542B\>
    <math|n> \<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#90FD\>\<#662F\>
    <math|V> \<#7684\>\<#57FA\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#8BBE\> <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#662F\> <math|V> \<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#4E14\>\<#5305\>\<#542B\>
    <math|n> \<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B83\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6269\>\<#5C55\>\<#4E3A\>
    <math|V> \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>,\<b-w\><rsub|1>,\<b-w\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-w\><rsub|m><around*|(|m\<geqslant\>0|)>>\<#FF0C\>\<#4F46\>\<#7531\>\<#4E8E\>
    <math|V> \<#662F\> <math|n> \<#7EF4\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#57FA\>\<#4E2D\>\<#53EA\>\<#5305\>\<#542B\>
    <math|n> \<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5FC5\>\<#5B9A\>
    <math|m=0>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#4E3A\>\<#57FA\>.
  </proof>

  <\proposition>
    \<#8BBE\> <math|V> \<#662F\> <math|n>
    \<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#5305\>\<#542B\>
    <math|n> \<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#80FD\>\<#591F\>\<#5F20\>\<#6210\> <math|V>\<#FF0C\>\<#5373\>
    <math|V=span<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#5FC5\>\<#662F\>\<#57FA\>.
  </proposition>

  <\proof>
    \<#53EA\>\<#9700\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5373\>\<#53EF\>.
    \<#7531\>\<#4E8E\> \ <math|V=span<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>|)>>
    \<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\> <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9000\>\<#5316\>\<#4E3A\> <math|V>
    \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\> <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|m><around*|(|m\<leqslant\>n|)>>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>
    <math|V> \<#662F\> <math|n> \<#7EF4\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5FC5\>\<#987B\>\<#662F\>
    <math|n>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\> <math|m=n>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#9000\>\<#5316\>\<#64CD\>\<#4F5C\>\<#4E3A\>\<#7A7A\>\<#64CD\>\<#4F5C\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#662F\>\<#57FA\>.
  </proof>

  <\theorem>
    \<#8BBE\> <math|V> \<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <math|U<rsub|1>> \<#548C\> <math|U<rsub|2>>
    \<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5219\>

    <\equation*>
      dim <around*|(|U<rsub|1>+U<rsub|2>|)>=dim U<rsub|1>+dim
      U<rsub|2>-dim<around*|(|U<rsub|1>\<cap\>U<rsub|2>|)>
    </equation*>
  </theorem>

  <\proof>
    \<#5BB9\>\<#6613\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#FF0C\><math|U<rsub|1>\<cap\>U<rsub|2>>
    \<#4E5F\>\<#662F\> <math|V> \<#7684\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#8BBE\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>> \<#662F\>
    <math|U<rsub|1>\<cap\>U<rsub|2>> \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|dim <around*|(|U<rsub|1>\<cap\>U<rsub|2>|)>=n>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#53EF\>\<#4EE5\>\<#6269\>\<#5C55\>\<#4E3A\> <math|U<rsub|1>>
    \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>

    <\equation*>
      \<b-u\><rsub|1>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|m>,\<b-v\><rsub|1>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>
    </equation*>

    \<#6B64\>\<#65F6\> <math|dim U<rsub|1>=m+n>.

    \<#540C\>\<#7406\>\<#FF0C\><math|\<b-v\><rsub|1>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>>
    \<#4E5F\>\<#80FD\>\<#6269\>\<#5C55\>\<#4E3A\> <math|U<rsub|2>>
    \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>

    <\equation*>
      \<b-v\><rsub|1>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>,\<b-w\><rsub|1>,\<ldots\>,\<b-w\><rsub|l>
    </equation*>

    \<#6B64\>\<#65F6\> <math|dim U<rsub|2>=n+l>.

    \<#63A5\>\<#4E0B\>\<#6765\>\<#53EA\>\<#9700\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>
    <math|dim<around*|(|U<rsub|1>+U<rsub|2>=m+n+l|)>>
    \<#5373\>\<#53EF\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#53EA\>\<#9700\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>

    <\equation*>
      \<b-u\><rsub|1>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|m>,\<b-v\><rsub|1>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>,\<b-w\><rsub|1>,\<ldots\>,\<b-w\><rsub|l>
    </equation*>

    \<#662F\> <math|U<rsub|1>+U<rsub|2>> \<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#5373\>\<#53EF\>.

    \<#5BB9\>\<#6613\>\<#9A8C\>\<#8BC1\> <math|U<rsub|1>+U<rsub|2>=span<around*|(|\<b-u\><rsub|1>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|m>,\<b-v\><rsub|1>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>,\<b-w\><rsub|1>,\<ldots\>,\<b-w\><rsub|l>|)>>\<#FF0C\>\<#53EA\>\<#9700\>\<#8981\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5373\>\<#53EF\>.\<#8BBE\>

    <\equation*>
      a<rsub|1>\<b-u\><rsub|1>+\<cdots\>+a<rsub|m>\<b-u\><rsub|m>+b<rsub|1>\<b-v\><rsub|1><rsub|>+\<cdots\>+b<rsub|n>\<b-v\><rsub|n>+c<rsub|1>\<b-w\><rsub|1>+\<cdots\>+c<rsub|l>\<b-w\><rsub|l>=\<b-0\>
    </equation*>

    \<#5219\>\<#6709\>

    <\equation*>
      a<rsub|1>\<b-u\><rsub|1>+\<cdots\>+a<rsub|m>\<b-u\><rsub|m>+b<rsub|1>\<b-v\><rsub|1><rsub|>+\<cdots\>+b<rsub|n>\<b-v\><rsub|n>+c<rsub|1>\<b-w\><rsub|1>=-<around*|(|c<rsub|1>\<b-w\><rsub|1>+\<cdots\>+c<rsub|l>\<b-w\><rsub|l>|)>
    </equation*>

    \<#5DE6\>\<#8FB9\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#5728\> <math|U<rsub|1>>
    \<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#8868\>\<#660E\>
    <math|-<around*|(|c<rsub|1>\<b-w\><rsub|1>+\<cdots\>+c<rsub|l>\<b-w\><rsub|l>|)>\<in\>U<rsub|1>>
    \<#800C\>\<#663E\>\<#7136\> <math|-<around*|(|c<rsub|1>\<b-w\><rsub|1>+\<cdots\>+c<rsub|l>\<b-w\><rsub|l>|)>\<in\>U<rsub|2>>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>
    <math|-<around*|(|c<rsub|1>\<b-w\><rsub|1>+\<cdots\>+c<rsub|l>\<b-w\><rsub|l>|)>\<in\>U<rsub|1>\<cap\>U<rsub|2>>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>
    <math|-<around*|(|c<rsub|1>\<b-w\><rsub|1>+\<cdots\>+c<rsub|l>\<b-w\><rsub|l>|)>\<in\>span<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<ldots\>,\<b-v\>|)>>\<#FF0C\>\<#4F46\>
    \ <math|\<b-v\><rsub|1>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>,\<b-w\><rsub|1>,\<ldots\>,\<b-w\><rsub|l>>
    \<#4F5C\>\<#4E3A\> \ <math|U<rsub|2>>
    \<#7684\>\<#57FA\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#53EA\>\<#80FD\>
    <math|-<around*|(|c<rsub|1>\<b-w\><rsub|1>+\<cdots\>+c<rsub|l>\<b-w\><rsub|l>|)>=\<b-0\>>
    \<#5373\> <math|c<rsub|1>=\<cdots\>=c<rsub|l>=0>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#5FC5\>\<#6709\>
    <math|a<rsub|1>=\<cdots\>=a<rsub|m>=b<rsub|1>=\<cdots\>=b<rsub|n>=0>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#5F97\>\<#8BC1\>.
  </proof>

  \<#7531\>\<#4E8E\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#662F\>\<#76F4\>\<#548C\>\<#5F53\>\<#4E14\>\<#4EC5\>\<#5F53\>\<#5B83\>\<#4EEC\>\<#4EA4\>\<#96C6\>\<#53EA\>\<#5305\>\<#542B\>\<#96F6\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#6545\>\<#6709\>

  <\corollary>
    \<#82E5\> <math|V> \<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\><math|U<rsub|1>>
    \<#548C\> <math|U<rsub|2>> \<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5219\>
    <math|U<rsub|1>+U<rsub|2>> \<#662F\>\<#76F4\>\<#548C\>\<#7684\>\<#5145\>\<#5206\>\<#5FC5\>\<#8981\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#662F\>
    <math|dim<around*|(|U<rsub|1>+U<rsub|2>|)>=dim U<rsub|1>+dim U<rsub|2>>.
  </corollary>

  <subsection|\<#4E60\>\<#9898\>\<#9009\>\<#89E3\>>

  <\problem>
    \<#7C7B\>\<#6BD4\>\<#6709\>\<#9650\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#7684\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#96C6\>\<#4E4B\>\<#5E76\>\<#96C6\>\<#7684\>\<#5143\>\<#7D20\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#516C\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#731C\>\<#6D4B\>:
    \<#8BBE\> <math|U<rsub|1>,U<rsub|2>,U<rsub|3>>
    \<#662F\>\<#6709\>\<#9650\>\<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>
    <math|V> \<#7684\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#4E0B\>\<#5F0F\>\<#662F\>\<#5426\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#6216\>\<#8005\>\<#4E3E\>\<#51FA\>\<#53CD\>\<#4F8B\>:

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|dim<around*|(|U<rsub|1>+U<rsub|2>+U<rsub|3>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|dim
      U<rsub|1>+dim U<rsub|2>+dim U<rsub|3>-dim<around*|(|U<rsub|1>\<cap\>U<rsub|2>|)>-dim<around*|(|U<rsub|2>\<cap\>U<rsub|3>|)>-dim<around*|(|U<rsub|3>\<cap\>U<rsub|1>|)>+dim<around*|(|U<rsub|1>\<cap\>U<rsub|2>\<cap\>U<rsub|3>|)>>>>>
    </eqnarray*>
  </problem>

  <\solution*>
    \<#516C\>\<#5F0F\>\<#4E0D\>\<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#53D6\>
    <math|V=R<rsup|3>>\<#FF0C\><math|U<rsub|1>>,
    <math|U<rsub|2>>\<#FF0C\><math|U<rsub|3>>
    \<#4E3A\>\<#4E09\>\<#6761\>\<#901A\>\<#8FC7\>\<#539F\>\<#70B9\>\<#4E14\>\<#5171\>\<#9762\>\<#7684\>\<#76F4\>\<#7EBF\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#4E3A\>\<#53CD\>\<#4F8B\>.
  </solution*>

  <subsection|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#6027\>\<#7684\>\<#518D\>\<#8BA8\>\<#8BBA\>(\<#4F5C\>\<#5E9F\>)>

  \;

  \<#56E0\>\<#4E3A\>\<#6BCF\>\<#4E00\>\<#4E2A\>
  <math|\<b-v\><rsub|i>\<in\>L<around*|(|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#8FD9\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#8FD8\>\<#610F\>\<#5473\>\<#7740\>

  <\proposition>
    \<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#4E0E\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#5B50\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#4E92\>\<#76F8\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#8868\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#4E0E\>\<#8BE5\>\<#5B50\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7B49\>\<#4EF7\>.
  </proposition>

  \<#8FD9\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#63D0\>\<#793A\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4ECE\>\<#4E2D\>\<#5254\>\<#9664\>\<#6389\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#80FD\>\<#591F\>\<#8868\>\<#8FBE\>\<#4E3A\>\<#5176\>\<#5B83\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#4ECE\>\<#800C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#5269\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#4E0E\>\<#539F\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#FF0C\>\<#91CD\>\<#590D\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#8FC7\>\<#7A0B\>\<#FF0C\>\<#6700\>\<#7EC8\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#6709\>\<#4E24\>\<#79CD\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#FF0C\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#662F\>\<#6267\>\<#884C\>\<#5B8C\>\<#67D0\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6B65\>\<#9AA4\>\<#540E\>\<#FF0C\>\<#5269\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#662F\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#7A7A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#540E\>\<#8005\>\<#663E\>\<#7136\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#5168\>\<#7531\>
  <math|\<b-0\>> \<#7EC4\>\<#6210\>\<#5BFC\>\<#81F4\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#89C4\>\<#5B9A\>\<#7A7A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>

  <\proposition>
    \<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#5FC5\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#67D0\>\<#4E2A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5B50\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#4F7F\>\<#5F97\>\<#8BE5\>\<#5B50\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#4E0E\>\<#539F\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#4E92\>\<#76F8\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#8868\>\<#51FA\>.
  </proposition>

  \<#7531\>\<#4E8E\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#672C\>\<#8EAB\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#7B26\>\<#5408\>\<#8FD9\>\<#547D\>\<#9898\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#7684\>\<#5B50\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>\<#4E2D\>\<#672A\>\<#9650\>\<#5236\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>.

  \<#5173\>\<#4E8E\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#6709\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>

  <\theorem>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#80FD\>\<#7ECF\>\<#7531\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#66F4\>\<#5C11\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#8868\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5B83\>\<#5FC5\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>.
  </theorem>

  <\proof>
    \<#8BBE\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\> <math|\<b-u\><rsub|1>,\<b-u\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>>
    \<#80FD\>\<#591F\>\<#7531\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|m>>
    \<#7EBF\>\<#6027\>\<#8868\>\<#51FA\>\<#FF0C\>\<#4E14\>
    <math|n\<gtr\>m>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6709\>

    <\equation*>
      \<b-u\><rsub|i>=a<rsub|i,1>\<b-v\><rsub|1>+a<rsub|i,2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|i,m>\<b-v\><rsub|m>
    </equation*>

    \<#5176\>\<#4E2D\> <math|i=1,2,\<ldots\>,n>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5BFB\>\<#6C42\>\<#80FD\>\<#4F7F\>
    <math|\<lambda\><rsub|1>\<b-u\><rsub|1>+\<lambda\><rsub|2>\<b-u\><rsub|2>+\<cdots\>+\<lambda\><rsub|n>\<b-u\><rsub|n>=\<b-0\>>
    \<#6210\>\<#7ACB\>\<#7684\>\<#4E0D\>\<#5168\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#7684\>
    <math|\<lambda\><rsub|1>,\<lambda\><rsub|2>,\<ldots\>,\<lambda\><rsub|n>>.

    \<#7531\>\ 

    <\equation*>
      \<b-0\>=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<lambda\><rsub|i>\<b-u\><rsub|i>=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n><big|sum><rsub|j=1><rsup|m>\<lambda\><rsub|i>a<rsub|i,j>\<b-v\><rsub|j>=<big|sum><rsub|j=1><rsup|m><around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<lambda\><rsub|i>a<rsub|i,j>|)>\<b-v\><rsub|j>
    </equation*>

    \<#4EE4\>\<#6240\>\<#6709\> <math|\<b-v\><rsub|i>>
    \<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#FF0C\>\<#5F97\>\<#5230\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>

    <\equation*>
      <big|sum><rsub|i=1><rsup|n>\<lambda\><rsub|i>a<rsub|i,j>=0,j=1,2,\<ldots\>,m
    </equation*>

    \<#8FD9\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5173\>\<#4E8E\>
    <math|\<lambda\><rsub|1>,\<lambda\><rsub|2>,\<ldots\>,\<lambda\><rsub|n>>
    \<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7684\>\<#4E2A\>\<#6570\>
    <math|m> \<#5C0F\>\<#4E8E\>\<#672A\>\<#77E5\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#4E2A\>\<#6570\>
    <math|n>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#5F15\>\<#8A00\>\<#4E2D\>\<#8BB2\>\<#8FF0\>\<#6D88\>\<#5143\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#65F6\>\<#5019\>\<#FF0C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5DF2\>\<#7ECF\>\<#77E5\>\<#9053\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#7684\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>\<#4E00\>\<#5B9A\>\<#6709\>\<#7740\>\<#4E0D\>\<#5168\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#7684\>\<#89E3\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#5C31\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#4E86\>\<#7ED3\>\<#8BBA\>.
  </proof>

  <\corollary>
    \<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#4E0D\>\<#53EF\>\<#80FD\>\<#7ECF\>\<#7531\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5C11\>\<#4E8E\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#8868\>\<#51FA\>.
  </corollary>

  \<#7531\>\<#6B64\>\<#7ACB\>\<#5F97\>

  <\theorem>
    \<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#4E0E\>\<#5176\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5B50\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#90FD\>\<#5177\>\<#6709\>\<#76F8\>\<#540C\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>.
  </theorem>

  <\proof>
    \<#5047\>\<#82E5\>\<#67D0\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#6709\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#4E0E\>\<#5176\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#5B50\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#663E\>\<#7136\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#4E5F\>\<#4E92\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#4E0D\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#FF0C\>\<#6309\>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#63A8\>\<#8BBA\>\<#FF0C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#8F83\>\<#591A\>\<#7684\>\<#90A3\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5FC5\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4E0E\>\<#5047\>\<#8BBE\>\<#77DB\>\<#76FE\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5B50\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#5FC5\>\<#76F8\>\<#7B49\>.
  </proof>

  \<#7531\>\<#6B64\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#4E0E\>\<#5176\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#5B50\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#56FA\>\<#6709\>\<#5C5E\>\<#6027\>\<#FF0C\>\<#4E0E\>\<#5177\>\<#4F53\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#5B50\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#6B64\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5B9A\>\<#4E49\>

  <\definition>
    \<#5BF9\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#4E0E\>\<#5176\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5B50\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#8BE5\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\><underline|\<#79E9\>>.
  </definition>

  \<#663E\>\<#7136\>\<#FF0C\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#79E9\>\<#7B49\>\<#4E8E\>\<#5176\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E2A\>\<#6570\>.

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  <\theorem>
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  </proof>

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  </proof>

  <subsection|\<#57FA\>\<#4E0E\>\<#5750\>\<#6807\>>

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  \<#7EF4\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5176\>\<#4E2D\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#6700\>\<#5927\>\<#4E3A\>
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  \<#5C31\>\<#662F\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#6709\>
  <math|V=L<around*|(|\<b-alpha\><rsub|1>,\<b-alpha\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-alpha\><rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#5373\>\<#8BE5\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#6240\>\<#6709\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#90FD\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5199\>\<#6210\>\<#8FD9\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#7684\>\<#5F62\>\<#5F0F\>

  <\equation*>
    \<b-u\>=a<rsub|1>\<b-alpha\><rsub|1>+a<rsub|2>\<b-alpha\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>\<b-alpha\><rsub|n>
  </equation*>

  \<#4E8E\>\<#662F\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5B9A\>\<#4E49\>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|V> \<#662F\> <math|n>
    \<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#4E0A\>\<#9762\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#4E3A\>
    <math|n> \<#4E14\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#8BE5\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\><underline|\<#57FA\>\<#5E95\>>\<#FF0C\>\<#7B80\><underline|\<#57FA\>>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#8BE5\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#5185\>\<#4EFB\>\<#4E00\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-u\>> \<#7528\>\<#8BE5\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>
    <math|\<b-u\>=a<rsub|1>\<b-alpha\><rsub|1>+a<rsub|2>\<b-alpha\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>\<b-alpha\><rsub|n>>
    \<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\> <math|<around*|(|a<rsub|1>,a<rsub|2>,\<ldots\>,a<rsub|n>|)>>
    \<#79F0\>\<#4E3A\>\<#8BE5\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#5728\>\<#8FD9\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#4E0B\>\<#7684\><underline|\<#5750\>\<#6807\>>.
    \<#8BB0\>\<#4F5C\> <math|\<b-u\>=<around*|(|a<rsub|1>,a<rsub|2>,\<ldots\>,a<rsub|n>|)>>.
  </definition>

  <math|n> \<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#786E\>\<#5B9A\>\<#7684\>\<#57FA\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#5750\>\<#6807\>\<#5FC5\>\<#662F\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#662F\>\<#56E0\>\<#4E3A\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#67D0\>\<#5411\>\<#91CF\>
  <math|\<b-u\>> \<#540C\>\<#65F6\>\<#6709\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5750\>\<#6807\>
  <math|<around*|(|a<rsub|1>,a<rsub|2>,\<ldots\>,a<rsub|n>|)>> \<#548C\>
  <math|<around*|(|b<rsub|1>,b<rsub|2>,\<ldots\>,b<rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#4FBF\>\<#540C\>\<#65F6\>\<#6210\>\<#7ACB\>
  <math|\<b-u\>=a<rsub|1>\<b-alpha\><rsub|1>+a<rsub|2>\<b-alpha\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n>\<b-alpha\><rsub|n>>
  \<#548C\> <math|\<b-u\>=b<rsub|1>\<b-alpha\><rsub|1>+b<rsub|2>\<b-alpha\><rsub|2>+\<cdots\>+b<rsub|n>\<b-alpha\><rsub|n>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#4FBF\>\<#6709\>
  <math|<around*|(|a<rsub|1>-b<rsub|1>|)>\<b-alpha\><rsub|1>+<around*|(|a<rsub|2>-b<rsub|2>|)>\<b-alpha\><rsub|2>+\<cdots\>+<around*|(|a<rsub|n>-b<rsub|n>|)>\<b-alpha\><rsub|n>=\<b-0\>>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#57FA\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5FC5\>\<#6709\>
  <math|a<rsub|i>=b<rsub|i><around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n|)>>.

  <\example>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#6570\>\<#57DF\> <math|F>
    \<#4E0A\>\<#7684\>\<#6B21\>\<#6570\>\<#4E0D\>\<#8D85\>\<#8FC7\> <math|n>
    \<#7684\>\<#4E00\>\<#5143\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>\<#73AF\>
    <math|P<rsub|n><around*|(|F|)>> \<#6765\>\<#8BF4\>\<#FF0C\><math|1,x,\<ldots\>,x<rsup|n>>
    \<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>.
    \<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\> <math|f<around*|(|x|)>=a<rsub|0>+a<rsub|1>x+\<cdots\>+a<rsub|n>x<rsup|n>>
    \<#5728\>\<#8FD9\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#5750\>\<#6807\>\<#662F\>
    <math|<around*|(|a<rsub|0>,a<rsub|1>,\<ldots\>,a<rsub|n>|)>>.

    \<#56FA\>\<#5B9A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#7684\>\<#6570\>
    <math|\<lambda\>>\<#FF0C\>\<#5219\> <math|1,<around*|(|x-\<lambda\>|)>,\<ldots\>,<around*|(|x-\<lambda\>|)><rsup|n>>
    \<#540C\>\<#6837\>\<#662F\>\<#5B83\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>
    <math|f<around*|(|x|)>=a<rsub|0>+a<rsub|1>x+\<cdots\>+a<rsub|n>x<rsup|n>>
    \<#7684\>\<#6CF0\>\<#52D2\>\<#5C55\>\<#5F00\>

    <\equation*>
      f<around*|(|x|)>=f<around*|(|\<lambda\>|)>+f<rprime|'><around*|(|\<lambda\>|)><around*|(|x-\<lambda\>|)>+<frac|f<rprime|''><around*|(|\<lambda\>|)>|2!><around*|(|x-\<lambda\>|)><rsup|2>+\<cdots\>+<frac|f<rsup|<around*|(|n|)>><around*|(|\<lambda\>|)>|n!><around*|(|x-\<lambda\>|)><rsup|n>
    </equation*>

    \<#77E5\> <math|f<around*|(|x|)>> \<#5728\>\<#8FD9\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#5750\>\<#6807\>\<#662F\>
    <math|<around*|(|f<around*|(|\<lambda\>|)>,f<rprime|'><around*|(|\<lambda\>|)>,<frac|f<rprime|''><around*|(|\<lambda\>|)>|2!>,\<ldots\>,<frac|f<rsup|<around*|(|n|)>><around*|(|\<lambda\>|)>|n!>|)>>.
  </example>

  \<#63A5\>\<#4E0B\>\<#6765\>\<#8BA8\>\<#8BBA\> <math|n>
  \<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#FF0C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#5728\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#57FA\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#5750\>\<#6807\>\<#8F6C\>\<#6362\>.

  \<#8BBE\> <math|n> \<#7EF4\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
  \<#6709\>\<#4E24\>\<#7EC4\>\<#57FA\> <math|\<b-varepsilon\><rsub|1>,\<b-varepsilon\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-varepsilon\><rsub|n>>
  \<#548C\> <math|\<b-eta\><rsub|1>,\<b-eta\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-eta\><rsub|n>>\<#FF0C\>
  <math|V> \<#4E2D\>\<#5411\>\<#91CF\> <math|\<b-u\>>
  \<#5728\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#5750\>\<#6807\>\<#5206\>\<#522B\>\<#662F\>
  <math|<around*|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>> \<#548C\>
  <math|<around*|(|y<rsub|1>,y<rsub|2>,\<ldots\>,y<rsub|n>|)>>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#6709\>\ 

  <\equation*>
    \<b-u\>=x<rsub|1>\<b-varepsilon\><rsub|1>+x<rsub|2>\<b-varepsilon\><rsub|2>+\<cdots\>+x<rsub|n>\<b-varepsilon\><rsub|n>=y<rsub|1>\<b-eta\><rsub|1>+y<rsub|2>\<b-eta\><rsub|2>+\<cdots\>+y<rsub|n>\<b-eta\><rsub|n>
  </equation*>

  \<#4E3A\>\<#5BFB\>\<#6C42\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5750\>\<#6807\>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#663E\>\<#7136\>\<#4F9D\>\<#8D56\>\<#4E8E\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#7684\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#4E8E\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#4E92\>\<#76F8\>\<#7B49\>\<#4EF7\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#800C\>\<#6709\>

  <\equation*>
    <around*|{|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|\<b-varepsilon\><rsub|1>=a<rsub|1,1>\<b-eta\><rsub|1>+a<rsub|1,2>\<b-eta\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|1,n>\<b-eta\><rsub|n>>>|<row|<cell|\<b-varepsilon\><rsub|2>=a<rsub|2,1>\<b-eta\><rsub|1>+a<rsub|2,2>\<b-eta\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|2,n>\<b-eta\><rsub|n>>>|<row|<cell|\<cdots\>>>|<row|<cell|\<b-varepsilon\><rsub|n>=a<rsub|n,1>\<b-eta\><rsub|1>+a<rsub|n,2>\<b-eta\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n,n>\<b-eta\><rsub|n>>>>>>|\<nobracket\>>
  </equation*>

  \<#5373\>

  <\equation*>
    <around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|\<b-varepsilon\><rsub|1>>>|<row|<cell|\<b-varepsilon\><rsub|2>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|\<b-varepsilon\><rsub|n>>>>>>|)>=<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>>|<cell|a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|m,1>>|<cell|a<rsub|m,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|m,n>>>>>>|)><around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|\<b-eta\><rsub|1>>>|<row|<cell|\<b-eta\><rsub|2>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|\<b-eta\><rsub|n>>>>>>|)>
  </equation*>

  \<#6211\>\<#4EEC\>\<#79F0\>\<#77E9\>\<#9635\>

  <\equation*>
    \<b-A\>=<around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>>|<cell|a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|m,1>>|<cell|a<rsub|m,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|m,n>>>>>>|)>
  </equation*>

  \<#4E3A\>\<#57FA\> <math|\<b-varepsilon\><rsub|1>,\<b-varepsilon\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-varepsilon\><rsub|n>>
  \<#5230\>\<#57FA\> <math|\<b-eta\><rsub|1>,\<b-eta\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-eta\><rsub|n>>
  \<#7684\><underline|\<#8FC7\>\<#6E21\>\<#77E9\>\<#9635\>>.
  \<#73B0\>\<#5728\>\<#5C31\>\<#6709\>(\<#6CE8\>\<#610F\>\<#628A\>\<#5750\>\<#6807\>\<#548C\>\<#57FA\>\<#5199\>\<#6210\>\<#4E86\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#5F62\>\<#5F0F\>\<#4E14\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7EC4\>\<#5408\>\<#88AB\>\<#5199\>\<#6210\>\<#4E86\>\<#77E9\>\<#9635\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#79EF\>\<#7684\>\<#5F62\>\<#5F0F\>)\ 

  <\eqnarray*>
    <tformat|<table|<row|<cell|\<b-u\>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)><around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|\<b-varepsilon\><rsub|1>>>|<row|<cell|\<b-varepsilon\><rsub|2>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|\<b-varepsilon\><rsub|n>>>>>>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)><around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>>|<cell|a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|m,1>>|<cell|a<rsub|m,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|m,n>>>>>>|)><around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|\<b-eta\><rsub|1>>>|<row|<cell|\<b-eta\><rsub|2>>>|<row|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|\<b-eta\><rsub|n>>>>>>|)>>>>>
  </eqnarray*>

  \<#5373\>

  <\equation*>
    <around*|(|y<rsub|1>,y<rsub|2>,\<ldots\>,y<rsub|n>|)>=<around*|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)><around*|(|<tabular|<tformat|<table|<row|<cell|a<rsub|1,1>>|<cell|a<rsub|1,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|1,n>>>|<row|<cell|a<rsub|2,1>>|<cell|a<rsub|2,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|2,n>>>|<row|<cell|\<vdots\>>|<cell|\<vdots\>>|<cell|>|<cell|\<vdots\>>>|<row|<cell|a<rsub|m,1>>|<cell|a<rsub|m,2>>|<cell|\<cdots\>>|<cell|a<rsub|m,n>>>>>>|)>
  </equation*>

  \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#8981\>\<#5BFB\>\<#6C42\>\<#7684\>\<#5173\>\<#7CFB\>\<#5F0F\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#6B64\>\<#53EF\>\<#89C1\>\<#FF0C\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#5728\>\<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#57FA\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#5750\>\<#6807\>\<#FF0C\>\<#5B8C\>\<#5168\>\<#53D6\>\<#51B3\>\<#4E8E\>\<#8FD9\>\<#4E24\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#4E4B\>\<#95F4\>\<#7684\>\<#8FC7\>\<#6E21\>\<#77E9\>\<#9635\>.

  <section|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#4E0E\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#53D8\>\<#6362\>>

  <subsection|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#53CA\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#53D8\>\<#6362\>\<#7684\>\<#6982\>\<#5FF5\>>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|T:V\<rightarrow\>W> \<#662F\>\<#7531\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>
    <math|V> \<#5230\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|W>
    \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#7684\>
    <math|\<b-u\>,\<b-v\>\<in\>V> \<#53CA\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#7684\>
    <math|\<lambda\>\<in\>F>\<#FF0C\>\<#90FD\>\<#6709\>

    <\eqnarray*>
      <tformat|<table|<row|<cell|T<around*|(|\<b-u\>+\<b-v\>|)>>|<cell|=>|<cell|T<around*|(|\<b-u\>|)>+T<around*|(|\<b-v\>|)>>>|<row|<cell|T<around*|(|\<lambda\>\<b-u\>|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>T<around*|(|\<b-u\>|)>>>>>
    </eqnarray*>

    \<#5C31\>\<#79F0\> <math|T> \<#662F\>\<#4ECE\> <math|V> \<#5230\>
    <math|W> \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\><underline|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>>.
  </definition>

  <\example>
    \<#8BBE\> <math|S> \<#8868\>\<#793A\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around*|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#79EF\>\<#5206\>
    <math|<big|int><rsub|a><rsup|b>f<around*|(|x|)>d x> \<#662F\>\<#4ECE\>
    <math|S> \<#5230\> <math|R> \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>.
  </example>

  <\example>
    \<#8BBE\> <math|S> \<#8868\>\<#793A\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around*|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#53EF\>\<#5FAE\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#5219\>\<#5FAE\>\<#5206\>\<#8FD0\>\<#7B97\>
    <math|<frac|d f|d x>> \<#662F\>\<#4ECE\> <math|S> \<#5230\> <math|S>
    \<#81EA\>\<#8EAB\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>.
  </example>

  <\definition>
    \<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#5230\>\<#5176\>\<#81EA\>\<#8EAB\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#FF0C\>\<#79F0\>\<#4E3A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>
    <math|V> \<#4E0A\>\<#7684\><underline|\<#7EBF\>\<#6027\>\<#53D8\>\<#6362\>>.
  </definition>

  <subsection|\<#4E60\>\<#9898\>\<#9009\>\<#89E3\>>

  <\problem>
    \<#5047\>\<#5B9A\> <math|T\<in\>\<cal-L\><around*|(|F<rsup|n>,F<rsup|m>|)>>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>:
    \<#5B58\>\<#5728\>\<#6807\>\<#91CF\> <math|a<rsub|i,j>\<in\>F<around*|(|i=1,2,\<ldots\>,n,j=1,2,\<ldots\>,m|)>>
    \<#4F7F\>\<#5F97\>

    <\equation*>
      T<around*|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>=<around*|(|a<rsub|1,1>x<rsub|1>+a<rsub|2,1>x<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n,1>x<rsub|n>,\<ldots\>,a<rsub|1,m>x<rsub|1>+a<rsub|2,m>x<rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|n,m>x<rsub|n>|)>
    </equation*>

    \<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#4F55\> <math|<around*|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>\<in\>F<rsup|n>>
    \<#90FD\>\<#6210\>\<#7ACB\>.

    <\proof>
      \ <math|T> \<#53EF\>\<#7531\> <math|F<rsup|n>>
      \<#4E2D\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#57FA\>\<#5728\> <math|F<rsup|m>>
      \<#7684\>\<#50CF\>\<#503C\>\<#6240\>\<#552F\>\<#4E00\>\<#786E\>\<#5B9A\>\<#FF0C\>\<#5728\>
      <math|F<rsup|n>> \<#4E2D\>\<#53D6\>\<#5B9A\>\<#57FA\>\<#4E3A\>

      <\equation*>
        \<b-u\><rsub|1>=<around*|(|1,0,\<ldots\>,0|)>,\<b-u\><rsub|2>=<around*|(|0,1,\<ldots\>,0|)>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>=<around*|(|0,0,\<ldots\>,1|)>
      </equation*>

      \<#5373\> <math|\<b-u\><rsub|i>> \<#9664\>\<#7B2C\> <math|i>
      \<#4E2A\>\<#5206\>\<#91CF\>\<#4E3A\>1\<#4E4B\>\<#5916\>\<#5176\>\<#4F59\>\<#5206\>\<#91CF\>\<#5168\>\<#4E3A\>\<#96F6\>.
      \<#540C\>\<#6837\>\<#5728\> <math|F<rsup|m>>
      \<#4E2D\>\<#53D6\>\<#5B9A\>\<#57FA\>\<#4E3A\>

      <\equation*>
        \<b-w\><rsub|1>=<around*|(|1,0,\<ldots\>,0|)>,\<b-u\><rsub|2>=<around*|(|0,1,\<ldots\>,0|)>,\<ldots\>,\<b-u\><rsub|n>=<around*|(|0,0,\<ldots\>,1|)>
      </equation*>

      \<#4E0E\> <math|\<b-u\><rsub|i>> \<#4E0D\>\<#540C\>\<#7684\>\<#662F\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#91CC\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>
      <math|\<b-w\><rsub|i>> \<#90FD\>\<#53EA\>\<#6709\> <math|m>
      \<#4E2A\>\<#5206\>\<#91CF\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#6BCF\>\<#4E2A\>
      <math|\<b-u\><rsub|i>> \<#6709\> <math|n> \<#4E2A\>\<#5206\>\<#91CF\>.

      \<#8BBE\> <math|T<around*|(|\<b-u\><rsub|i>|)>=<big|sum><rsub|j=1><rsup|m>a<rsub|i,j>\<b-w\><rsub|j>>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#6709\>

      <\eqnarray*>
        <tformat|<table|<row|<cell|>|<cell|>|<cell|T<around*|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|T<around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i>\<b-u\><rsub|i>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i>T<around*|(|\<b-u\><rsub|i>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i><around*|(|<big|sum><rsub|j=1><rsup|m>a<rsub|i,j>\<b-w\><rsub|j>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n><big|sum><rsub|j=1><rsup|m>x<rsub|i>a<rsub|i,j>\<b-w\><rsub|j>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<big|sum><rsub|j=1><rsup|m><around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i>a<rsub|i,j>|)>\<b-w\><rsub|j>>>>>
      </eqnarray*>

      \<#5373\>

      <\equation*>
        T<around*|(|x<rsub|1>,x<rsub|2>,\<ldots\>,x<rsub|n>|)>=<around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i>a<rsub|i,1>|)>\<b-w\><rsub|1>+<around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i>a<rsub|i,2>|)>\<b-w\><rsub|2>+\<cdots\>+<around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i>a<rsub|i,m>|)>\<b-w\><rsub|m>
      </equation*>

      \<#5F97\>\<#8BC1\>.
    </proof>
  </problem>

  <\problem>
    \<#8BBE\> <math|T\<in\>\<cal-L\><around*|(|V,W|)>>\<#FF0C\>\<#800C\>
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|m>>
    \<#662F\> <math|V> \<#4E2D\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#5E76\>\<#4E14\>\<#4F7F\>\<#5F97\>
    <math|T\<b-v\><rsub|1>,T\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,T\<b-v\><rsub|m>>
    \<#662F\> <math|W> \<#4E2D\>\<#7684\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7EC4\>\<#FF0C\>\<#6C42\>\<#8BC1\>:
    <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|m>>
    \<#5728\> <math|V> \<#4E2D\>\<#4E5F\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>.

    <\proof>
      \<#5047\>\<#5982\> <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|m>>
      \<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#7EC4\>\<#4E0D\>\<#5168\>\<#4E3A\>\<#96F6\>\<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>
      <math|a<rsub|1>,a<rsub|2>,\<ldots\>,a<rsub|m>\<in\>F>
      \<#4F7F\>\<#5F97\>

      <\equation*>
        a<rsub|1>\<b-v\><rsub|1>+a<rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|m>\<b-v\><rsub|m>=\<b-0\>
      </equation*>

      \<#6210\>\<#7ACB\>\<#FF0C\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#4FBF\>\<#5F97\>\ 

      <\equation*>
        T<around*|(|a<rsub|1>\<b-v\><rsub|1>+a<rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|m>\<b-v\><rsub|m>|)>=T<around*|(|\<b-0\>|)>=\<b-0\>
      </equation*>

      \<#53E6\>\<#4E00\>\<#65B9\>\<#9762\>\<#FF0C\>\<#7531\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5F97\>

      <\equation*>
        T<around*|(|a<rsub|1>\<b-v\><rsub|1>+a<rsub|2>\<b-v\><rsub|2>+\<cdots\>+a<rsub|m>\<b-v\><rsub|m>|)>=a<rsub|1>T<around*|(|\<b-v\><rsub|1>|)>+a<rsub|2>T<around*|(|\<b-v\><rsub|2>|)>+\<cdots\>+a<rsub|m>T<around*|(|\<b-v\><rsub|m>|)>
      </equation*>

      \<#56E0\>\<#6B64\>\<#5F97\>

      <\equation*>
        a<rsub|1>T<around*|(|\<b-v\><rsub|1>|)>+a<rsub|2>T<around*|(|\<b-v\><rsub|2>|)>+\<cdots\>+a<rsub|m>T<around*|(|\<b-v\><rsub|m>|)>=\<b-0\>
      </equation*>

      \<#8FD9\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>\<#FF0C\><math|T\<b-v\><rsub|1>,T\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,T\<b-v\><rsub|m>>
      \<#5728\> <math|W> \<#4E2D\>\<#4E5F\>\<#5FC5\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#76F8\>\<#5173\>\<#7684\>\<#FF0C\>\<#4E0E\>\<#5DF2\>\<#77E5\>\<#77DB\>\<#76FE\>\<#FF0C\>\<#6545\>
      <math|\<b-v\><rsub|1>,\<b-v\><rsub|2>,\<ldots\>,\<b-v\><rsub|m>>
      \ \<#53EA\>\<#80FD\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65E0\>\<#5173\>\<#7684\>.
    </proof>
  </problem>

  <\problem>
    \<#8BC1\>\<#660E\>: \<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#5230\>\<#53E6\>\<#4E00\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|W>
    \<#7684\>\<#6240\>\<#6709\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#FF0C\>\<#5728\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#4E0E\>\<#6807\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#4E0B\>\<#6784\>\<#6210\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.

    <\proof>
      \ \<#8BBE\> <math|S,T\<in\>\<cal-L\><around*|(|V,W|)>>\<#FF0C\>\<#5148\>\<#8BC1\>\<#660E\>
      <math|S+T> \<#4E5F\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>,
      \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#4EFB\>\<#610F\> <math|\<b-u\>,\<b-v\>\<in\>V>
      \<#53CA\>\<#4EFB\>\<#610F\> <math|\<lambda\>\<in\>F> \<#6709\>

      <\eqnarray*>
        <tformat|<table|<row|<cell|<around*|(|S+T|)><around*|(|\<b-u\>+\<b-v\>|)>>|<cell|=>|<cell|S<around*|(|\<b-u\>+\<b-v\>|)>+T<around*|(|\<b-u\>+\<b-v\>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|S<around*|(|\<b-u\>|)>+S<around*|(|\<b-v\>|)>|)>+<around*|(|T<around*|(|\<b-u\>|)>+T<around*|(|\<b-v\>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|S<around*|(|\<b-u\>|)>+T<around*|(|\<b-u\>|)>|)>+<around*|(|S<around*|(|\<b-v\>|)>+T<around*|(|\<b-v\>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|S+T|)><around*|(|\<b-u\>|)>+<around*|(|S+T|)><around*|(|\<b-v\>|)>>>>>
      </eqnarray*>

      \<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#662F\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#662F\>\<#5229\>\<#7528\>\<#4E86\>
      <math|S> \<#548C\> <math|T> \<#90FD\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#FF0C\>\<#7B2C\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#662F\>\<#5229\>\<#7528\>\<#4E86\>
      <math|W> \<#4E2D\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#4EA4\>\<#6362\>\<#5F8B\>\<#548C\>\<#7ED3\>\<#5408\>\<#5F8B\>\<#FF0C\>\<#7B2C\>\<#56DB\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#662F\>\<#53CD\>\<#5411\>\<#4F7F\>\<#7528\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>.

      \<#540C\>\<#65F6\>\<#6709\>

      <\eqnarray*>
        <tformat|<table|<row|<cell|<around*|(|S+T|)><around*|(|\<lambda\>\<b-u\>|)>>|<cell|=>|<cell|S<around*|(|\<lambda\>\<b-u\>|)>+T<around*|(|\<lambda\>\<b-u\>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>S<around*|(|\<b-u\>|)>+\<lambda\>T<around*|(|\<b-u\>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|\<lambda\><around*|(|S<around*|(|\<b-u\>|)>+T<around*|(|\<b-u\>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|\<lambda\><around*|(|S+T|)><around*|(|\<b-u\>|)>>>>>
      </eqnarray*>

      \<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#662F\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#662F\>\<#5229\>\<#7528\>
      <math|S> \<#548C\> <math|T> \<#90FD\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#FF0C\>\<#7B2C\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#662F\>\<#5229\>\<#7528\>
      <math|W> \<#4E2D\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#6807\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#5BF9\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#5206\>\<#914D\>\<#5F8B\>\<#FF0C\>\<#7B2C\>\<#56DB\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#662F\>\<#53CD\>\<#5411\>\<#4F7F\>\<#7528\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>.

      \<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#4E24\>\<#6761\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#5199\>\<#5728\>\<#4E00\>\<#8D77\>\<#5C31\>\<#662F\>\ 

      <\eqnarray*>
        <tformat|<table|<row|<cell|<around*|(|S+T|)><around*|(|\<b-u\>+\<b-v\>|)>>|<cell|=>|<cell|<around*|(|S+T|)><around*|(|\<b-u\>|)>+<around*|(|S+T|)><around*|(|\<b-v\>|)>>>|<row|<cell|<around*|(|S+T|)><around*|(|\<lambda\>\<b-u\>|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\><around*|(|S+T|)><around*|(|\<b-u\>|)>>>>>
      </eqnarray*>

      \<#8FD9\>\<#8868\>\<#660E\> <math|S+T>
      \<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>.

      \<#518D\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#6807\>\<#91CF\>
      <math|\<lambda\>\<in\>F>\<#FF0C\>\<#6620\>\<#5C04\> <math|\<lambda\>S>
      \<#4E5F\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>.
      \<#4EFB\>\<#53D6\> <math|\<alpha\>\<in\>F> \<#53CA\>
      <math|\<b-u\>\<in\>V>\<#FF0C\>\<#6709\>

      <\eqnarray*>
        <tformat|<table|<row|<cell|<around*|(|\<lambda\>S|)><around*|(|\<alpha\>\<b-u\>|)>>|<cell|=>|<cell|\<lambda\>S<around*|(|\<alpha\>\<b-u\>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|\<lambda\><around*|(|\<alpha\>S<around*|(|\<b-u\>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|<around*|(|\<lambda\>\<alpha\>|)>S<around*|(|\<b-u\>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|\<alpha\><around*|(|\<lambda\>S<around*|(|\<b-u\>|)>|)>>>|<row|<cell|>|<cell|=>|<cell|\<alpha\><around*|(|\<lambda\>S|)><around*|(|\<b-u\>|)>>>>>
      </eqnarray*>

      \<#7B2C\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#662F\>\<#5229\>\<#7528\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#7684\>\<#6807\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#5229\>\<#7528\>\<#4E86\>
      <math|S> \<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#FF0C\>\<#7B2C\>\<#4E09\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#662F\>\<#5229\>\<#7528\>\<#4E86\>
      <math|W> \<#4E2D\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#6807\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>\<#FF0C\>\<#7B2C\>\<#56DB\>\<#4E2A\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#662F\>\<#53CD\>\<#5411\>\<#5E94\>\<#7528\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#6807\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>.
      \<#8FD9\>\<#7ED3\>\<#679C\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#8BF4\>

      <\equation*>
        <around*|(|\<lambda\>S|)><around*|(|\<alpha\>\<b-u\>|)>=\<alpha\><around*|(|\<lambda\>S|)><around*|(|\<b-u\>|)>
      </equation*>

      \<#4E8E\>\<#662F\> <math|\<lambda\>S>
      \<#4E5F\>\<#662F\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>.

      \<#636E\>\<#6B64\>\<#FF0C\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#4E4B\>\<#548C\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#FF0C\>\<#53CA\>\<#4E0E\>\<#6807\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#5F62\>\<#6210\>\<#7684\>\<#65B0\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#5747\>\<#4E3A\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#FF0C\>\<#6362\>\<#8A00\>\<#4E4B\>\<#FF0C\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#5173\>\<#4E8E\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#548C\>\<#4E0E\>\<#6807\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#662F\>\<#5C01\>\<#95ED\>\<#7684\>.

      \<#63A5\>\<#4E0B\>\<#6765\>\<#8BC1\>\<#660E\>\<#FF0C\><math|\<cal-L\><around*|(|V,W|)>>
      \<#4E2D\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>\<#FF0C\>\<#800C\>\<#6620\>\<#5C04\>
      <math|O<around*|(|\<b-u\>|)>=\<b-0\><around*|(|\<forall\>\<b-u\>\<in\>V|)>>
      \<#4FBF\>\<#662F\>\<#5176\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#5355\>\<#4F4D\>\<#5143\>\<#FF0C\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#FF0C\>\<#4EFB\>\<#53D6\>
      <math|S\<in\>\<cal-L\><around*|(|V,W|)>> \<#5747\>\<#6709\>
      <math|O+S=S>.

      \<#4E0B\>\<#4E00\>\<#6B65\>\<#FF0C\>\<#8BC1\>\<#660E\>
      <math|\<cal-L\><around*|(|V,W|)>> \<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#5747\>\<#5B58\>\<#5728\>\<#9006\>\<#5143\>\<#FF0C\>\<#4EFB\>\<#53D6\>
      <math|S\<in\>\<cal-L\><around*|(|V,W|)>>\<#FF0C\>\<#5BB9\>\<#6613\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>,
      <math|<around*|(|-1|)>S> \<#4FBF\>\<#662F\>\<#5176\>\<#9006\>\<#5143\>\<#FF0C\>\<#5373\>
      <math|S+<around*|(|-1|)>S=O>.

      \;
    </proof>
  </problem>

  \;

  \;

  \;

  <section|\<#8D4B\>\<#8303\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>>

  <subsection|\<#6982\>\<#5FF5\>>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|V> \<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|V> \<#5230\> <math|R> \<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6620\>\<#5C04\>
    <math|<around*|\<\|\|\>|\<b-x\>|\<\|\|\>>>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#6761\>\<#4EF6\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#8FD9\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#662F\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>
    <math|V> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#4E00\>\<#4E2A\><underline|\<#8303\>\<#6570\>>:

    <\enumerate-numeric>
      <item><math|<around*|\<\|\|\>|\<b-x\>|\<\|\|\>>\<geqslant\>0>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#5F53\>\<#4E14\>\<#4EC5\>\<#5F53\>
      <math|\<b-x\>=\<b-0\>> \<#65F6\>\<#6210\>\<#7ACB\>.

      <item><math|<around*|\<\|\|\>|\<lambda\>\<b-x\>|\<\|\|\>>=<around*|\||\<lambda\>|\|><around*|\<\|\|\>|\<b-x\>|\<\|\|\>>>.

      <item><math|<around*|\<\|\|\>|\<b-x\>+\<b-y\>|\<\|\|\>>\<leqslant\><around*|\<\|\|\>|\<b-x\>|\<\|\|\>>+<around*|\<\|\|\>|\<b-y\>|\<\|\|\>>>
    </enumerate-numeric>
  </definition>

  <\definition>
    \<#5982\>\<#679C\>\<#5728\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|V>
    \<#4E0A\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E86\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#8303\>\<#6570\>
    <math|<around*|\<\|\|\>|\<cdot\>|\<\|\|\>>>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#4E8C\>\<#5143\>\<#7EC4\>
    <math|<around*|(|V,<around*|\<\|\|\>|\<cdot\>|\<\|\|\>>|)>>
    \<#4E3A\><underline|\<#8D4B\>\<#8303\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>>\<#FF0C\>\<#610F\>\<#5373\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E86\>\<#8303\>\<#6570\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#7684\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.
  </definition>

  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#8D4B\>\<#8303\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#800C\>\<#8A00\>\<#FF0C\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>
  <math|V> \<#4E2D\>\<#7684\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5143\>\<#7D20\>
  <math|\<b-x\>> \<#548C\> <math|\<b-y\>>\<#FF0C\>\<#5B9A\>\<#4E49\>

  <\equation*>
    d<around*|(|\<b-x\>,\<b-y\>|)>=<around*|\<\|\|\>|\<b-x\>-\<b-y\>|\<\|\|\>>
  </equation*>

  \<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#FF0C\>\<#5B83\>\<#7B26\>\<#5408\>\<#5EA6\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#8DDD\>\<#79BB\>\<#7684\>\<#8981\>\<#6C42\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#8DDD\>\<#79BB\>\<#4E4B\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#8D4B\>\<#8303\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#5C31\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5EA6\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.

  <section|\<#5185\>\<#79EF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>>

  <subsection|\<#6982\>\<#5FF5\>>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|V> \<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#7531\>
    <math|V\<times\>V> \<#5230\> <math|F>
    \<#7684\>\<#6620\>\<#5C04\>(\<#8BB0\>\<#4E3A\>
    <math|\<langle\>\<b-alpha\>,\<b-beta\>\<rangle\>>)
    \<#5982\>\<#679C\>\<#6EE1\>\<#8DB3\>\<#4EE5\>\<#4E0B\>\<#51E0\>\<#6761\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#5B83\>\<#662F\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>
    <math|V> \<#4E0A\>\<#7684\>(\<#4E00\>\<#4E2A\>)<underline|\<#5185\>\<#79EF\>>\<#8FD0\>\<#7B97\>:

    <\enumerate-numeric>
      <item><math|\<langle\>\<b-alpha\>,\<b-alpha\>\<rangle\>\<geqslant\>0>
      <math|>\<#FF0C\>\<#4E14\>\<#7B49\>\<#53F7\>\<#5F53\>\<#4E14\>\<#4EC5\>\<#5F53\>
      <math|\<b-alpha\>=\<b-0\>> \<#65F6\>\<#53D6\>\<#5F97\>.

      <item><math|\<langle\>\<b-alpha\>,\<b-beta\>\<rangle\>=<wide|\<langle\>\<b-beta\>,\<b-alpha\>\<rangle\>|\<bar\>>>

      <item><math|\<langle\>\<b-alpha\>+\<b-beta\>,\<b-gamma\>\<rangle\>=\<langle\>\<b-alpha\>,\<b-gamma\>\<rangle\>+\<langle\>\<b-alpha\>,\<b-gamma\>\<rangle\>>

      <item><math|\<langle\>\<lambda\>\<b-alpha\>,\<b-beta\>\<rangle\>=\<lambda\>\<langle\>\<b-alpha\>,\<b-beta\>\<rangle\>>
    </enumerate-numeric>
  </definition>

  <\definition>
    \<#8BBE\> <math|V> \<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#5728\>
    <math|V> \<#4E0A\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E86\>\<#4E00\>\<#79CD\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#4E8C\>\<#5143\>\<#7EC4\>
    <math|<around*|(|V,\<langle\>\<rangle\>|)>>
    \<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\><underline|\<#5185\>\<#79EF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>>.
    \<#5982\>\<#679C\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\<#4E2D\>\<#7684\>
    F \<#662F\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#96C6\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#8FD9\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#79F0\>\<#4E3A\><underline|\<#5B9E\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>>\<#FF0C\>\<#540C\>\<#6837\>\<#5982\>\<#679C\>
    <math|F> \<#662F\> C\<#FF0C\>\<#5C31\>\<#79F0\>\<#4E3A\><underline|\<#590D\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>>.
  </definition>

  \;

  \<#6CE8\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7684\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#662F\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#8FD9\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E2D\>\<#7B2C\>\<#4E8C\>\<#6761\>\<#5C31\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#5BF9\>\<#79F0\>\<#6027\>.

  \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#6765\>\<#8BB2\>\<#FF0C\>\<#5982\>\<#679C\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#8303\>\<#6570\>

  <\equation*>
    <around*|\<\|\|\>|\<b-x\>|\<\|\|\>>=<sqrt|\<langle\>\<b-alpha\>,\<b-alpha\>\<rangle\>>
  </equation*>

  (\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#5B83\>\<#7B26\>\<#5408\>\<#8303\>\<#6570\>\<#5B9A\>\<#4E49\>)\<#FF0C\>\<#90A3\>\<#4E48\>\<#5B83\>\<#5C31\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#8D4B\>\<#8303\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#4ECA\>\<#540E\>\<#6211\>\<#4EEC\>\<#5728\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#63D0\>\<#5230\>\<#8303\>\<#6570\>\<#65F6\>\<#FF0C\>\<#4E00\>\<#822C\>\<#60C5\>\<#51B5\>\<#4E0B\>\<#5C31\>\<#662F\>\<#6307\>\<#8FD9\>\<#79CD\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E0B\>\<#7684\>\<#8303\>\<#6570\>.

  <\example>
    \<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5728\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\>
    <math|<around*|[|a,b|]>> \<#4E0A\>\<#7684\>\<#9ECE\>\<#66FC\>\<#53EF\>\<#79EF\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#FF0C\>\<#6309\>\<#7167\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#52A0\>\<#6CD5\>\<#548C\>\<#6570\>\<#91CF\>\<#4E58\>\<#6CD5\>\<#6784\>\<#6210\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#518D\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#8FD0\>\<#7B97\>

    <\equation*>
      \<langle\>f,g\<rangle\>=<big|int><rsub|a><rsup|b>f<around*|(|x|)>g<around*|(|x|)>d
      x
    </equation*>

    \<#53EF\>\<#4EE5\>\<#9A8C\>\<#8BC1\>\<#5B83\>\<#7B26\>\<#5408\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#8FD9\>\<#4E9B\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#7684\>\<#96C6\>\<#5408\>\<#52A0\>\<#4E0A\>\<#8FD9\>\<#6837\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#7684\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#5C31\>\<#6210\>\<#4E3A\>\<#4E00\>\<#4E2A\>\<#5B9E\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>.
  </example>

  <\theorem>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5B9E\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E2D\>\<#4EFB\>\<#610F\>\<#4E24\>\<#4E2A\>\<#5411\>\<#91CF\>
    <math|\<b-x\>> \<#548C\> <math|\<b-y\>>\<#FF0C\>\<#6210\>\<#7ACB\>
    Cauchy-Schwarz \<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>
    <math|\<langle\>\<b-x\>,\<b-y\>\<rangle\><rsup|2>\<leqslant\>\<langle\>\<b-x\>,\<b-x\>\<rangle\>\<langle\>\<b-y\>,\<b-y\>\<rangle\>>.
  </theorem>

  \<#6309\>\<#8303\>\<#6570\> <math|<around*|\<\|\|\>|\<b-x\>|\<\|\|\>>=<sqrt|\<langle\>\<b-alpha\>,\<b-alpha\>\<rangle\>>>
  \<#7684\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#4E0B\>\<#FF0C\>\<#8FD9\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#53EF\>\<#4EE5\>\<#5199\>\<#6210\>
  <math|<around*|\||\<langle\>\<b-x\>,\<b-y\>\<rangle\>|\|><rsup|2>\<leqslant\><around*|\<\|\|\>|\<b-x\>|\<\|\|\>>\<cdot\><around*|\<\|\|\>|\<b-y\>|\<\|\|\>>>.

  <\proof>
    \<#7531\>\ 

    <\equation*>
      \<langle\>\<b-x\>+t\<b-y\>,\<b-x\>+t\<b-y\>\<rangle\>\<geqslant\>0
    </equation*>

    \<#5373\>

    <\equation*>
      \<langle\>\<b-x\>,\<b-x\>\<rangle\>+2t\<langle\>\<b-x\>,\<b-y\>\<rangle\>+t<rsup|2>\<langle\>\<b-y\>,\<b-y\>\<rangle\>\<geqslant\>0
    </equation*>

    \<#7531\>\<#4E8E\>\<#662F\>\<#5B9E\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#FF0C\>\<#6240\>\<#4EE5\>\<#5DE6\>\<#4FA7\>\<#5173\>\<#4E8E\>
    <math|t> \<#7684\>\<#4E8C\>\<#6B21\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#7CFB\>\<#6570\>\<#90FD\>\<#662F\>\<#5B9E\>\<#6570\>\<#FF0C\>\<#56E0\>\<#6B64\>\<#5176\>\<#5224\>\<#522B\>\<#5F0F\>
    <math|\<Delta\>=\<langle\>\<b-x\>,\<b-y\>\<rangle\><rsup|2>-\<langle\>\<b-x\>,\<b-x\>\<rangle\>\<langle\>\<b-y\>,\<b-y\>\<rangle\>\<leqslant\>0>.
  </proof>

  <\example>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\> <math|F<rsup|n>>
    \<#4E0A\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#7684\>\<#5185\>\<#79EF\>\<#8FD0\>\<#7B97\>

    <\equation*>
      \<langle\>\<b-x\>,\<b-y\>\<rangle\>=<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i>y<rsub|i>
    </equation*>

    \ <math|>\<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#5373\>

    <\equation*>
      <around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i>y<rsub|i>|)><rsup|2>\<leqslant\><around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>x<rsub|i><rsup|2>|)><around*|(|<big|sum><rsub|i=1><rsup|n>y<rsub|i><rsup|2>|)>
    </equation*>
  </example>

  <\example>
    \<#5BF9\>\<#4E8E\>\<#95ED\>\<#533A\>\<#95F4\> <math|<around*|[|a,b|]>>
    \<#4E0A\>\<#7684\>\<#8FDE\>\<#7EED\>\<#51FD\>\<#6570\>\<#6240\>\<#6210\>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>\<#4E0A\>\<#5B9A\>\<#4E49\>\<#7684\>\<#8FD0\>\<#7B97\>\ 

    <\equation*>
      \<langle\>f,g\<rangle\>=<big|int><rsub|a><rsup|b>f<around*|(|x|)>g<around*|(|x|)>d
      x
    </equation*>

    \<#4E0A\>\<#8FF0\>\<#4E0D\>\<#7B49\>\<#5F0F\>\<#5C31\>\<#662F\>

    <\equation*>
      <around*|(|<big|int><rsub|a><rsup|b>f<around*|(|x|)>g<around*|(|x|)>d
      x|)><rsup|2>\<leqslant\><around*|(|<big|int><rsub|a><rsup|b>f<rsup|2><around*|(|x|)>d
      x|)><around*|(|<big|int><rsub|a><rsup|b>g<rsup|2><around*|(|x|)>d x|)>
    </equation*>
  </example>

  \;

  \;

  \;

  <chapter|\<#591A\>\<#9879\>\<#5F0F\>>

  <chapter|\<#7FA4\>\<#3001\>\<#73AF\>\<#4E0E\>\<#57DF\>>

  <appendix|\<#53C2\>\<#8003\>\<#6587\>\<#732E\>>

  <\enumerate-numeric>
    <item>Linear Algebra Do Right. Sheldon Axler. Springer.

    <item>\<#9AD8\>\<#7B49\>\<#4EE3\>\<#6570\>.
    \<#5317\>\<#4EAC\>\<#5927\>\<#5B66\>\<#6570\>\<#5B66\>\<#7CFB\>\<#524D\>\<#4EE3\>\<#6570\>\<#5C0F\>\<#7EC4\>.
    \<#5317\>\<#4EAC\>: \<#9AD8\>\<#7B49\>\<#6559\>\<#80B2\>\<#51FA\>\<#7248\>\<#793E\>,
    2013.

    <item>\<#8FD1\>\<#4E16\>\<#4EE3\>\<#6570\>. \<#6768\>\<#5B50\>\<#80E5\>.
    \<#5317\>\<#4EAC\>: \<#9AD8\>\<#7B49\>\<#6559\>\<#80B2\>\<#51FA\>\<#7248\>\<#793E\>,
    2020.
  </enumerate-numeric>

  \;

  \;
</body>

<\initial>
  <\collection>
    <associate|info-flag|minimal>
    <associate|page-medium|paper>
  </collection>
</initial>

<\references>
  <\collection>
    <associate|auto-1|<tuple|1|7>>
    <associate|auto-10|<tuple|1.4.2|9>>
    <associate|auto-11|<tuple|1.4.3|10>>
    <associate|auto-12|<tuple|1.5|10>>
    <associate|auto-13|<tuple|1.5.1|10>>
    <associate|auto-14|<tuple|1.5.2|11>>
    <associate|auto-15|<tuple|1.5.3|12>>
    <associate|auto-16|<tuple|1.6|13>>
    <associate|auto-17|<tuple|1.6.1|13>>
    <associate|auto-18|<tuple|1.6.2|14>>
    <associate|auto-19|<tuple|1.6.3|14>>
    <associate|auto-2|<tuple|1.1|7>>
    <associate|auto-20|<tuple|1.7|15>>
    <associate|auto-21|<tuple|1.7.1|15>>
    <associate|auto-22|<tuple|2|17>>
    <associate|auto-23|<tuple|2.1|17>>
    <associate|auto-24|<tuple|2.1.1|17>>
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    <associate|auto-9|<tuple|1.4.1|8>>
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  </collection>
</references>

<\auxiliary>
  <\collection>
    <\associate|bib>
      parity-of-range-by-exchange
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    <\associate|toc>
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      1.1<space|2spc>\<#96C6\>\<#5408\>\<#4E0E\>\<#5173\>\<#7CFB\>
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      1.6<space|2spc>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>
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      2.1<space|2spc>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>
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      <with|par-left|<quote|1tab>|2.1.3<space|2spc>\<#884C\>\<#5217\>\<#5F0F\>\<#7684\>\<#6027\>\<#8D28\>
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      <with|par-left|<quote|1tab>|2.1.6<space|2spc>Laplace\<#5B9A\>\<#7406\>
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      2.2<space|2spc>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#65B9\>\<#7A0B\>\<#7EC4\>
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      <with|par-left|<quote|1tab>|2.2.1<space|2spc>Cramer\<#6CD5\>\<#5219\>
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      2.3<space|2spc>\<#77E9\>\<#9635\> <datoms|<macro|x|<repeat|<arg|x>|<with|font-series|medium|<with|font-size|1|<space|0.2fn>.<space|0.2fn>>>>>|<htab|5mm>>
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      2.4<space|2spc>\<#4E8C\>\<#6B21\>\<#578B\>
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      3.1<space|2spc>\<#5EA6\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>
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      3.2<space|2spc>\<#5411\>\<#91CF\>\<#7A7A\>\<#95F4\>
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      <with|par-left|<quote|1tab>|3.3.7<space|2spc>\<#57FA\>\<#4E0E\>\<#5750\>\<#6807\>
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      3.4<space|2spc>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#6620\>\<#5C04\>\<#4E0E\>\<#7EBF\>\<#6027\>\<#53D8\>\<#6362\>
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